¿Derivadas iteradas de combinaciones de funciones?

Question

NOTA: Utilizaré $f^{(n)}$ para representar el $n$ derivada de la función $f$ .

Mientras trabajaba con las series de Taylor, decidí intentar encontrar fórmulas para facilitar la diferenciación múltiple de una función. Para la suma de dos funciones, la derivada iterada es fácil si conoces las derivadas iteradas de cada una de las dos funciones: $$(f+g)^{(n)}(x)=(f^{(n)}+g^{(n)})(x)$$ La fórmula del producto fue un poco más complicada, pero encontré una fórmula que se parece ligeramente al teorema del binomio: $$(f\cdot g)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(f^{(k)}\cdot g^{(n-k)})(x)$$ Sin embargo, hay tres para los que no he podido encontrar una fórmula: $$(1/f)^{(n)}(x)$$ $$(f\circ g)^{(n)}(x)$$ $$(f^{-1})^{(n)}(x)$$ ¿Alguien conoce las fórmulas correspondientes?

Answer 1

El Fórmula de inversión de Lagrange trata $(f^{-1})^{(n)}.$$

La fórmula de Faà di Bruno trata $(f\circ g)^{(n)}.$

En cierto sentido, esto último es más sencillo si el $n$ la derivada es $\dfrac{\partial^n}{\partial x_1\,\cdots\,\partial x_n}$ que si es $\dfrac{d^n}{dx^n}.$

Empieza con un ejemplo: \begin{align} & \frac{\partial^3}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} f(g(x))\\[10pt] = {} & f'(g(x_1,x_2,x_3)) \frac{\partial^3}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} g(x_1,x_2,x_3) & & (\text{with } f') \\[10pt] & {} + f''( g(x_1,x_2,x_3)) \cdot \left( \begin{array}{r} \dfrac{\partial^2}{\partial x_1\,\partial x_2} g(x_1,x_2,x_3) \cdot \dfrac{\partial}{\partial x_3} g(x_1,x_2,x_3) \\[5pt] {} + \dfrac{\partial^2}{\partial x_1\,\partial x_3} g(x_1,x_2,x_3) \cdot \dfrac \partial {\partial x_2} g(x_1,x_2,x_3) \\[5pt] {} + \dfrac{\partial^2}{\partial x_2\,\partial x_3} g(x_1,x_2,x_3) \cdot \dfrac \partial {\partial x_1} g(x_1,x_2,x_3) \end{array} \right) & & (\text{con} f'') \[10pt] & {} + f''(g(x_1,x_2,x_3)) \frac \parcial {parcial x_1} g(x_1,x_2,x_3) \cdot \frac \parcial {parcial x_2} g(x_1,x_2,x_3) \cdot \frac \parcial {parcial x_3} g(x_1,x_2,x_3) & & (\text{con} f'') |align} Hay un término para cada una de las cinco particiones del conjunto de tres variables $x_1,x_2,x_3.$ El $k$ derivada de $f$ se multiplica por una expresión que implica todas las particiones del conjunto de variables independientes en $k$ partes.

Del mismo modo, si tuviéramos $\dfrac{\partial^6}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3\,\partial x_4\,\partial x_5\,\partial x_6} f(g(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)),$ habríamos enumerado todos los $203$ particiones del conjunto de seis variables independientes.

¿Pero qué pasa si sólo hay una variable independiente? $\dfrac{d^3}{dx^3} f(g(x)) = \text{what?}$

Entonces deja que las tres variables se unan en una sola variable llamada $x:$ \begin{align} & \frac{d^3}{dx^3} f(g(x)) \\[15pt] = {} & f'(g(x)) \frac{d^3}{dx^3} g(x) \quad + \quad 3 f''(g(x)) \frac {d^2}{dx^2} g(x) \cdot \frac d {dx} g(x) \quad + \quad f'''(g(x)) \left( \frac d {dx} g(x) \right)^3 \end{align} (donde los tres términos que implican la segunda derivada de $f$ se han vuelto indistinguibles entre sí y, por tanto, se han convertido en un solo término con el coeficiente $3$ ).

Faà di Bruno también tratará $(1/f)^{(n)}(x)$ considerándola como una derivada de una función compuesta: $ x \mapsto f(x) \mapsto 1/f(x).$