¿Por qué el determinante $M_n(\mathbb R) \to \mathbb R$ ¿constantemente?

Question

¿Por qué el determinante es una función de $M_n(\mathbb{R})$ a $\mathbb{R}$ continua, por favor, ¿alguien puede explicarlo con precisión y rigor? Hasta ahora conozco la explicación que viene de los hechos: los polinomios son continuos, la suma y el producto de funciones continuas son continuos. También tengo la confusión respecto a la métrica en $M_n(\mathbb{R})$

Answer 1

$M_n(\mathbb R)$ es sólo $\mathbb R^{n^2}$ con la métrica euclidiana.

det es contable, porque es un polinomio en las coordenadas $$ \text{det}(x_{i,j})= \sum_\sigma \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} x_{\sigma(i),i} $$

Answer 2

Recordemos que el determinante puede calcularse mediante una suma de determinantes de menores, es decir, "sub"-matrices de menor dimensión.

Ahora podemos demostrar por inducción que $\det$ es continua:

• Para $n=1$ , $A\in M_1(\mathbb R)$ es simplemente un escalar tenemos que $\det A=A$ y seguramente la función identidad es continua.

• Supongamos que para $n$ tenemos que $\det$ es continua en $M_n(\mathbb R)$ , dejemos que $A\in M_{n+1}(\mathbb R)$ . Sabemos que $\det A$ puede calcularse como la suma alternada sobre una de las primeras filas, al calcular el $\det$ del menor apropiado.

  Así que $\det A$ se escribe como una suma y multiplicación escalar de $\det$ en una dimensión más pequeña. A partir de la hipótesis de inducción estos son continuos y por lo tanto $\det$ es continua en $n+1\times n+1$ matrices.

Answer 3

Los mapas de coeficientes $A\longmapsto a_{i,j}$ son continuas porque son lineales en el espacio vectorial de dimensión finita $M_n(\mathbb{R})$ . Aquí se quiere referir a la topología de este último como un espacio normado, que no depende de la norma ya que todas son equivalentes en dimensión finita. Entonces el determinante es un polinomio en los coeficientes, por lo que es continuo por composición de mapas continuos.

Answer 4

Es continua porque es computable como una función de $\mathbb{R}^{n^2}$ a $\mathbb{R}$ .

Answer 5

La función $$\det:\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$$ es continua porque es una función escalar y acotada. (Teoría de los operadores)

Y no todos los polinomios son continuos

P.D.: Disculpe mi inglés, por favor.