Medias aritméticas menos geométricas y coeficiente de variación

Question

Esta pregunta inspira otra pregunta: Para una distribución de probabilidad apoyada en la semirrecta positiva, ¿la diferencia entre las medias aritmética y geométrica está limitada por alguna función conocida del coeficiente de variación ( $\sigma/\mu$ ) o alguna otra medida de dispersión relativa? $$ \begin{gather} \text{arithmetic mean minus geometric mean} \le g\left( \frac \sigma \mu \right) \text{?} \\ (\text{What function might $g$ be?}) \\[6pt] (\text{Clearly $g(0)$ would be $0$.}) \end{gather} $$ [etc., etc., etc.]

Se señaló en los comentarios de abajo, primero implícitamente por Nick Cox, luego explícitamente por mí, y luego por whuber, que lo anterior no funcionará. Así que aquí está una versión revisada de la pregunta. ¿Hay alguna función $h$ para lo cual $$ \frac{\text{arithmetic mean minus geometric mean}} \sigma \le h\left( \frac \sigma \mu \right) \text{?} $$ Pensé brevemente que $h=$ la función de identidad, podría funcionar, por lo que $\sigma^2/\mu$ serviría como límite superior. Pero lo siguiente parece ser un contraejemplo: $$ X = \begin{cases} 0.01 & \text{with probability } 0.01, \\ 1.01 & \text{with probability } 0.99. \end{cases} $$ Aquí tenemos $$ \frac{\sigma^2} \mu = \frac{0.0099} 1 $$ mientras que $$ \text{arithmetic mean minus geometric mean} \approx 0.03555346. $$

Answer 1

Llama a la distribución de probabilidad en cuestión $p(x)$ .

Creo que básicamente estás preguntando cuál es el término de error en la desigualdad de Jensen. Específicamente, usted está comparando $E[X]$ a $\exp (E[\log(X)])$ o, por el contrario $\log E[X]$ a $E[\log(X)]$ . En este caso la función convexa es $f(x)=-\log(x)$ . Supongamos por un momento que el 0 no está en el soporte de $p(x)$ , tal vez incluso eso $p(x)=0$ para $x\leq a$ para algunos $a>0$ . Esto garantizará $f(x)$ es Lipschitz en $[a,\infty)$ . Establecer $\mu:=E[X]$ y $\sigma:=\sqrt{\mbox{Var}(X)}$ Ahora empieza a ampliar Taylor $f(x)$ alrededor de $\mu$ , es decir, como la respuesta superior aquí . También tenemos $f''(x)=1/x^2\leq \lambda:=1/a^2.$ Entonces, tenemos:

$$E[f(X)]-f(E[X])\leq \frac{\lambda\sigma^2}{2}=\frac{\sigma^2}{2a^2}$$

Supongo que si haces una expansión de segundo orden, obtendrás un límite que también involucra a la media.