Caracterización alternativa del espacio métrico completo

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico. Es completo si cada secuencia de Cauchy para $d$ en $X$ es convergente.

He oído una definición alternativa de exhaustividad para $(X,d)$ es completa si se cumple la siguiente condición:

Dejemos que $\{x_n\}\subset X$ sea una secuencia de puntos que sale de todo conjunto compacto de $X$ (decimos $\{x_n\}$ llega al infinito), entonces $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}d(x,x_n)=\infty}$ para cada punto $x\in X$ .

¿Es correcta esta caracterización alternativa? ¿Dónde puedo encontrar una prueba de la equivalencia de las dos caracterizaciones?

Gracias.

Answer 1

Considere $X = \mathbb R$ en la métrica discreta. Entonces un conjunto es compacto si y sólo si es finito. Ahora, tomemos por ejemplo $x_n$ una enumeración de $\mathbb Q$ . Entonces $x_n$ deja finalmente todo subconjunto finito de $\mathbb R$ .

También hay que tener en cuenta que $d(x,x_n) \to 1$ para todos $x \in \mathbb R$ .

Answer 2

No son alternativas (la primera condición del espacio métrico no implica la segunda)

Considere $(X,d)$ , cono sobre $(S^1,d_0)$ donde para $x\neq y\in S^1$ , $d_0(x,y)=\infty$ Es decir, como un conjunto $X$ es una bola unitaria en ${\bf R}^2$ . Aquí $$ d(re^{i\theta },r_2 e^{i\theta_2})=r+r_2 $$ para $\theta\neq \theta_2$ y $$ d(re^{i\theta },r_2 e^{i\theta_2})=|r-r_2| $$ para $\theta =\theta_2$

Tenga en cuenta que $X$ está cerrado, por lo que está completo. Pero $\{x_n=e^{i\theta_n} \}$ donde $\theta_n$ es distinta no subsecuencia convergente ya que $d(x_n,x_m)=2$ para $n\neq m$ Por lo tanto, no está no está en ningún conjunto compacto. Pero $d(x,x_n)\leq 2$ para todos $x\in X$