Ejemplos de cierres algebraicos de índice finito

Question

Así que hay ejemplos fáciles para cierres algebraicos que tienen índice dos e índice infinito: $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$ y los números algebraicos sobre $\mathbb{Q}$. ¿Qué pasa con los otros índices?

EDITAR: Por supuesto $\overline{\mathbb{Q}} \neq \mathbb{C}$. No sé lo que estaba pensando.

Answer 1

Teorema (Artin-Schreier, 1927): Sea K un campo algebraicamente cerrado y F un subcampo propio de K con $[K:F]

Véase, por ejemplo, Jacobson, Álgebra Básica II, Teorema 11.14.

Answer 2

El teorema de Artin-Schreier dice que todo cierre algebraico de índice finito tiene índice 2, y es el cierre algebraico de un campo real-cerrado.

Página 299 de Álgebra por Serge Lang. Google Books Enlace a la página.