Integral exponencial $ \int_0^\infty \frac{x^t}{\Gamma(t+1)}\text dt$

Question

Ahora desde la suma $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\quad x\in\Bbb R, $$ tiene algunas propiedades relativamente agradables, ¿es lo mismo cierto para sus análogos integrales? Si tomamos la función gamma como una generalización del factorial con $\Gamma(n+1) = n!$, una fórmula integral de análogos obvios sería $$ \int_0^\infty \frac{x^t}{\Gamma(t+1)}\text dt,\quad x\ge 0. $$ ¿Esta integral tiene propiedades similares y agradables?