Tal vez estos deben ser llamados
escala de $r$-dimensiones cosets
el grupo unitario $U(n)$.
Por el teorema 14 en la página 6 de Travis Schedler la lección 18,
cada $A$, cuando se ve como una transformación lineal,
tiene una descomposición polar $A=S\sqrt{A^*A}$,
donde $S$ es una isometría (unitario $\mathbb{C}$
o ortogonal sobre $\mathbb{R}$),
$A^*A$ es positivo-definida (por $A\ne0$) por un anterior teorema,
y su raíz cuadrada se define como la
única/conjugado ortogonal $U\Lambda'U^*$
de la diagonal de la matriz $\Lambda'=\sqrt{\Lambda}$
de no negativo de las raíces cuadradas de sus autovalores $(\Lambda_{ii}=\lambda_i)$
de su (necesariamente diagonal) descomposición de Schur $A^*A=U\Lambda U^*$.
Del mismo modo, $A^*=S\,'\sqrt{A^*A}$ para otro isometría $S\,'$,
desde $(A^*A)^*=A^*A$. Por lo tanto $A^T=S\,'S^*A$,
así que creo que su $B$ tendría que ser también una isometría,
y más $\mathbb{R}$, especial ortogonal (con determinante $1$).
Si ponemos el $\lambda_i$ en nonincreasing el fin de
(por permuting las columnas de a $U$),
fácilmente podemos ver que $\Lambda'$ vive en una incrustación de objetos (por inyección)
de $r$-dimensiones de la diagonal de las matrices
con estrictamente positivo autovalores (escala de matrices)
de $\mathbb{R}^{r\times r}$
en $\mathbb{R}^{n\times n}$.
Por lo tanto, $A=S\,U\Lambda'\,U^*$ es una isometría ($S$) o "permutada rotación"
de un $r$-dimensiones homogéneas dilatación ($\Lambda'$)
sobre los ejes de algunos orthonomal base ( $U$ )$\mathbb{R}^n$,
nos da una muy buena imagen geométrica de la matriz del espacio
$\{A\in\mathbb{R}^{n\times n}\mid A\mathbb{R}^n=A^T\mathbb{R}^n\}$.
Nota, también, que unitaria de las matrices (isometrías) son de la
formulario de $U=e^{iH}$ $H$ auto-adjunto de desplazamientos de los con $U$.
De hecho, podemos definir un $C^\infty$ (exponencial)
mapa de $U:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n\times n}$
por $U(t)=e^{itH}$ con derivados $U^{(n)}(t)=t\,U^*H^n$.
El espacio (una Mentira álgebra) de sí mismo-adjoint matrices $H$
(o anti-uno mismo-adjoint si dejamos caer el $i$ anterior),
por lo tanto, nos da el espacio de la tangente en cada punto
el espacio $U(n)$ de los unitaria de las matrices, lo cual es una Mentira Grupo.
No he encontrado una mejor necesario condición de
Chrisitan, ${\rm ker}\,A=({\rm im}\, A)^\perp$,
o los que se dan en el OP, por ejemplo, $\exists B:A^TB=A$,
para $A\mathbb{F}^n=A^T\mathbb{F}^n$ a celebrar,
es decir, un $n\times n$ matriz $A$ sobre un campo $\mathbb{F}$
para compartir la misma imagen de la columna o de espacio como su transpuesta
$A^T$ (o conjugada transpuesta $A^*$).
La mejor manera de caracterizar estas matrices es, por tanto,
probablemente con una lista de condiciones equivalentes.
Una suficiente condición es que la matriz de
$A\in\mathbb{F}^{n \times n}$ sobre el campo de $\mathbb{F}$
(por ejemplo,$\mathbb{F}=\mathbb{R} \text{ or }\mathbb{C}$)
es diagonalizable, significado (TFAE):
- $\exists\,G:A=G\Lambda G^{-1}$
con $G$ invertible y
$\Lambda$ diagonal en
$\mathbb{F}^{n\times n}$
(espectral/eigen - descomposición)
- la multiplicidad geométrica de cada autovalor igual
su multiplicidad algebraica
- la suma de las dimensiones de sus subespacios propios es igual a $n$
- existe una base de $\mathbb{F}^n$ consta de los vectores propios de a $A$
- el número de vectores propios linealmente independientes para cada autovalor
$\lambda$ es igual a la algebraica de grado de $(x-\lambda)$ como un factor de
del polinomio característico de a $A$
- su polinomio mínimo es un producto de distintos factores lineales
(divide y se squarefree) $\mathbb{F}$
- ($\mathbb{F}=\mathbb{R}$):
cada bloque de Jordan en el real
Jordan descomposición de $A$
no contiene $2\times2$ identidad
matriz de superdiagonal bloques
- $\exists\,U,T:A=UTU^{-1}$ tiene un
"completa"/complejo de la descomposición de Schur $F$
con $U$ unitario e $T$ triangular superior,
lo cual es cierto sólo si todos los valores propios son en $F$
(y siempre la verdad para $F=\mathbb{C}$)
- ($\mathbb{F}=\mathbb{R}$):
la descomposición de Schur sobre los reales $A=QSQ^{-1}$
con $Q$ ortogonal y $S$ bloque triangular superior
sólo ha $1\times 1$ (y no $2\times 2$) diagonal de bloques dentro de $S$
Una fuerte condición suficiente (lo que implica que el anterior)
es que $A$ es una normal de la matriz, lo que significa (TFAE):
- $AA^*=A^*A$ ($A$ los viajes con su conjugada transpuesta $A^*$)
- $A$ es unitarily diagonalizable
( $A=U\Lambda U^{-1}$ $U^*=U^{-1}$)
- $\exists U:A^*=AU$.
que (lingüísticamente al menos) completa la analogía
con normal de subgrupos en el grupo de teoría,
para que la izquierda y la derecha cosets son los mismos.
En estos casos, la caracterización geométrica sería
que $A$ es un anisotrópico de escala o no homogénea de dilatación
(lo que necesariamente incluye la proyección al $\text{rank}\;A\lt n$)
después de un ortogonales (o unitario para $\mathbb{F}=\mathbb{C}$)
cambio de base (sin isometría $S$).
De esta manera, es análoga a un auto-adjunto del operador.
Al $A$ es positiva definida, su
Schur, espectral, y el valor singular
descomposiciones todos coinciden.
Al $A$ es normal, su polar factores conmutar:
$A=UP=PU$ ($P$ positiva semi-definido).
En general existe un polar de la factorización de
$A=UP$, pero $U$ $P$ no están garantizados para viajar.
La lista de equivalencias de lo normal (y diagonalizable) de matrices de
es bastante largo, seguramente más que en el enlace de wikipedia,
por lo que hay probablemente muchas aplicaciones.
Un buen ejemplo de aplicación es en la
clasificación de formas cuadráticas.
Para las dimensiones de los subespacios de rango $k$,
eche un vistazo a Grassmanian y Stieffel colectores.
Una versión anterior de este post tuvo errores,
basado en un malentendido de este
(de hecho, una triangular superior, en lugar de
bloque triangular superior, Schur formulario
sólo existe para el normal matrices cuyos
característica o un mínimo de polinomios tienen
todas sus raíces en $\mathbb{F}$).
