¿Cómo encontrar continuidades con raíz cuadrada?

Question

No entiendo cómo encontrar $$\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}$$

El libro dice que hay que multiplicar la ecuación por $\frac{3 + \sqrt {x^2+5}}{3 + \sqrt {x^2+5}}$ . No entiendo de dónde viene eso. Dice que la multiplicación se simplifica a " $3 + \sqrt {x^2+5}$ "No veo cómo es posible. ¿Se equivoca el libro?

Answer 1

Sólo hay que utilizar la identidad binomial

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$

que para $a=3$ y $b=\sqrt{x^2+5}$ produce

$$\frac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})}{(3-\sqrt{x^2+5})(3+\sqrt{x^2+5})}=\frac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})}{9-(x^2+5)}=\frac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})}{(4-x^2)}$$

que es su resultado deseado $(3+\sqrt{x^2+5}).$

Answer 2

Para esta simplificación, es necesario saber que $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . Es importante reconocerlo, ya que es algo que se necesita muy a menudo. También se necesita cuando se simplifican expresiones con raíces cuadradas en el denominador. En este caso, esto nos da la siguiente simplificación: $(3+\sqrt{x^2+5})(3-\sqrt{x^2+5})=3^2-\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2=9-(x^2+5)=4-x^2$ .

Para ello, sustituimos $a=3$ y $b=\sqrt{x^2+5}$ en la identidad $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .

Esto significa que \begin{align*} \frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}} &=\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}} \cdot \frac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}} \\ &= \frac{(4-x^2)\left(3+\sqrt{x^2+5}\right)}{\left(3-\sqrt{x^2+5}\right)\left(3+\sqrt{x^2+5}\right)} \\ &= \frac{(4-x^2)\left(3+\sqrt{x^2+5}\right)}{4-x^2} \\ &= 3+\sqrt{x^2+5}\end{align*}

---

Sin embargo, esto no es válido para todos los $x$ ya que la primera expresión no está definida para todo $x$ mientras que la última expresión es. Aquí es donde la pregunta es en realidad: Encontrar las discontinuidades de la función. Para ello, es útil lo siguiente:

Es un hecho. Si $f(x)$ y $g(x)$ son continuos, entonces $\frac{f(x)}{g(x)}$ es continua cuando $g(x) \neq 0$ .

Así que tenemos que encontrar dónde $3-\sqrt{x^2+5}=0$ . Así que $\sqrt{x^2+5}=3$ Así que $x^2+5=9$ y $x^2=4$ lo que significa que $x=2$ o $x=-2$ . Ambos satisfacen la ecuación dada.

Answer 3

$$\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}=\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\cdot\frac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}}=\frac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})}{3^2-(x^2+5)}$$ $$=\frac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})}{4-x^2}=3+\sqrt{x^2+5}$$