Valor esperado del número de tarjetas diferentes

Question

Tengo esta pregunta:

De una baraja de $10$ cartas, Tom roba dos cartas y las vuelve a colocar en el mazo. Ahora Jerry saca dos cartas del mazo.

Dejemos que $X$ sea el número de cartas que fue elegido por uno solo de Tom o Jerry. ¿Cuál es $\Bbb E[X]$ ?

Me he dado cuenta de que el rango de $ X$ es $\{0,2,4\}$ y calculamos la probabilidad de que sea cero: $\frac 2{10} \frac 19$ ya que tiene que elegir las mismas dos cartas.
La probabilidad de que dos cartas sean : $\frac 1 {10}$$ \frac 89$ ya que tiene que elegir la misma carta una vez y otra diferente después.
La probabilidad de $4$ tarjetas : $\frac 8{10}$$ \frac 79$ ya que tiene que elegir dos cartas diferentes.
$$\Bbb E[X]=4\frac 8{10}\frac 79+2\frac 1{10}\frac 89=\frac {8}{3}$$

Pero tengo un error y no consigo averiguar cuál es. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Este es otro enfoque.

Numerar las tarjetas de $1$ a $10$ y que $$X_i = \begin{cases} 1 \qquad \text{if card i is chosen by exactly one of Tom and Jerry} \\ 0 \qquad \text{otherwise} \end{cases}$$ para $i = 1,2,3,\dots,10$ . Entonces $$P(X_i=1) = 2 \cdot \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{10} = \frac{8}{25}$$ por lo que el número esperado de cartas elegidas por exactamente una persona es $$E \left( \sum_{i=1}^{10} X_i \right) = \sum_{i=1}^{10} E(X_i) = 10 \cdot \frac{8}{25} = \frac{16}{5}$$ donde hemos utilizado la linealidad de la expectativa.

Answer 2

La probabilidad de elegir dos cartas debe multiplicarse por $4$ porque hay dos cartas para emparejar, y podemos emparejar o fallar.

Esto da el número de manos como $\{X=0:2, X=2: 32, X=4:56\}$

y da la expectativa revisada como:

$$\Bbb E[X]=4\frac 8{10}\frac 79+2\frac 4{10}\frac 89=\frac {16}{5}$$