¿Es exagerado definir el cierre de un conjunto $A,A\subseteq B$ por la unión del rango de la función recursiva $h(0)=A, h(n^+) = h(n)\cup f[h(n)]$

Question

$f:B\to B,A\subseteq B$ .

¿Es exagerado definir el cierre de un conjunto $A,A\subseteq B$ en $f$ por la unión del rango de la función recursiva $h(0)=A, h(n^+) = h(n)\cup f[h(n)]$ ?

Lo vi en un ejercicio de un libro. Pero si tomas $h\cap \{0,1\}\times A$ entonces su rango sería $\{A,A\cup f[A]\}$ que tiene como unión el cierre de todos modos. A mí me parece un exceso de complicación. ¿Hay alguna ventaja en definir el cierre recursivamente?

Answer 1

Creo que te confundes al pensar que la unión de $\{A,A\cup f[A]\}$ es el cierre. En general no es un cierre de $A$ en $f$ . Piensa en $A=\{1\}\subseteq \mathbb{Z}$ y $f(x)=2x$ . Luego hay que iterar el $h$ infinitas veces y tomar la unión de todos los rangos de $h$ para obtener el cierre correcto que es $2\mathbb{N}^+$ .

Si tu confusión es por qué seguimos uniendo conjuntos que ya tenemos en el resultado, eso es un poco más difícil de explicar. Básicamente, la idea es que quieres la versión límite del $h(n)$ conjuntos. Dado que todos están incluidos en los demás, la forma más fácil de obtener el límite es simplemente seguir adelante y unirlos todos.