¿La divergencia del campo eléctrico va a dar siempre la función delta de Dirac?

Question

Todos sabemos que cuando calculamos la divergencia de la carga puntual en el origen, resulta que es cero en todos los puntos excepto en el origen e infinita en el origen, lo que se llama función delta de Dirac. consulte aquí

$$ \nabla \cdot \mathbf E = 4\pi\delta^3(r).$$

Consideremos ahora una distribución de carga continua en el espacio. Nos interesa encontrar la divergencia del campo en algún punto. Para ello seguimos la definición de divergencia en un punto:

$$ \nabla\cdot\mathbf E =\lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V}\iint_S\mathbf E\cdot \hat{\mathbf n}dS .$$

Ahora bien, si hacemos una esfera y dejamos que el volumen se reduzca arbitrariamente a cero, es obvio que la distribución continua de la carga ya no será continua y deberíamos obtener el mismo resultado que en el caso de la carga puntual. Pero no es el caso. Por favor, explique en qué me equivoco.

Answer 1

Consideremos ahora una distribución de carga continua en el espacio.

Contradice con

es obvio que la distribución continua de la carga ya no será continua

Ese es el problema de tu razonamiento.

¿Por qué? Es una confusión muy habitual cuando se empieza a estudiar. La física no se ocupa de la realidad, sino de los modelos. No estás poniendo una superficie gaussiana para medir un átomo concreto de tu sistema concreto y real. No. Lo que estás haciendo es: "ya que este objeto es muy complicado, porque tiene más de 10^{23} átomos, consideremos una cosa más fácil". "Reemplacemos este terrible objeto por un cómodo objeto matemático IDEAL". "Olvidémonos de esa compleja realidad e imaginemos una bonita superficie perfectamente lisa en la que puedo aplicar todas mis herramientas matemáticas".

Eso es lo que hacemos en física. Trabajamos con matemáticas, las matemáticas son nuestra herramienta, pero sólo podemos aplicarlas a objetos matemáticos. La cuestión es elegir los objetos para que sus resultados sean lo más parecidos a la realidad.

En otras palabras, hacemos modelos que se comportan aproximadamente igual que la realidad.

Pero no hay que mezclar el mundo real con nuestros modelos idealizados.

Es como "No, la pelota que tiré no describe una parábola porque los átomos son objetos cuánticos que...." Espera, hombre, no estás resolviendo un grupo de átomos de una pelota, estás resolviendo cómo se movería una masa puntual en ausencia de rozamiento y muchas otras aproximaciones. El resultado es una parábola. ¿La realidad es similar a esa parábola? Sí, lo es... ¡muy parecida! Si luego viene un viento fuerte, tu modelo puede ser inadecuado para tu situación, por lo que la resolución será errónea. Espero que entiendas lo que quiero decir: los físicos debemos ser conscientes de qué nivel de aproximación estamos aplicando, y debemos ser muy cautelosos sobre cuáles son los límites de validez de nuestro modelo.

Así que, volviendo a tu problema, si estás asumiendo que tienes un medio continuo, entonces olvídate de la realidad, estás resolviendo un medio continuo. ¿Es válido? Es válido siempre y cuando coincida con lo que mides. Si te acercas hasta ver los átomos, probablemente tu modelo no sea adecuado para describir la realidad, ya que el campo eléctrico varía mucho entre los átomos. Pero para una distancia suficiente, es un buen modelo.

Answer 2

La respuesta depende de lo cerca que quieras mirar y de las aproximaciones que estés dispuesto a hacer.

En cierto punto, lo que dices es cierto: si te fijas bien, las cosas están hechas de cargas puntuales, así que dentro de un volumen suficientemente pequeño, la divergencia del campo eléctrico sería simplemente una función delta. Pero sólo en que volumen: en todo el espacio, la densidad de carga sería una suma de funciones delta

$$\rho(\mathbf{r}) = \sum_i q_i \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i),$$

donde $i$ indexa todos los cargos presentes. Si no nos fijamos demasiado, podemos sustituir esta densidad de carga por una versión aproximada $\bar{\rho}$ que es la media de $\rho$ sobre un pequeño volumen que rodea $\mathbf{r}$ :

$$\bar{\rho}(\mathbf{r}) = \frac{1}{V_\mathbf{r}} \int_{V_\mathbf{r}} \rho(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}' = \frac{1}{V_\mathbf{r}} \sum_{i \in V_\mathbf{r}} q_i = \frac{Q_{V_\mathbf{r}}}{V_\mathbf{r}}.$$

Es decir, la densidad de carga media es la carga contenida en un pequeño volumen alrededor del punto $\mathbf{r}$ dividido por el volumen. Esto funciona siempre que el volumen no sea ni demasiado grande ni demasiado pequeño; si es demasiado grande, la aproximación es demasiado aproximada, y si es demasiado pequeña deja de ser continua.

Pero... esto sólo es así si se mira de cerca, pero no demasiado, y sólo en algunos materiales. Porque es entonces cuando interviene la mecánica cuántica y nos recuerda que, aunque las partículas sean cargas puntuales, no tienen posiciones bien definidas, por lo que en la práctica funcionan un poco como distribuciones continuas sobre la extensión de sus funciones de onda. La importancia de esto depende: si tienes un montón de iones fijos uno al lado del otro, o algunos electrones libres, tratarlos como cargas puntuales podría funcionar bien. Pero en un cristal, y concretamente en un metal, algunos electrones están repartidos por todo el material, y ahí sí que actúan como una distribución continua en lugar de como una colección de puntos.

Así que como dije, depende de las aproximaciones que quieras hacer, y de las escalas y situaciones que estés considerando.

Answer 3

El argumento de la función delta entra en escena sólo cuando el campo eléctrico va por 1/r^2.

consideremos una distribución de carga continua en el espacio

Cuando se toma una distribución de carga continua, ésta seguirá siendo continua con una precisión arbitraria. Desde el punto de vista de una construcción matemática, como una función continua siempre siguen siendo continua, No importa, por lo que se amplía, por lo que es la distribución continua. Así que no hay sentido de una partícula discreta en una distribución continua. una función continua es siempre continua a una precisión arbitraria.

Ahora bien, si hacemos una esfera y dejamos que el volumen se reduzca arbitrariamente a cero

cuando se dice que se va a un cero arbitrario, ciertamente no se es práctico, así que vayamos a lo matemático, matemáticamente, ya que no hay ninguna noción de partícula cargada única, no hay punto de discreción, el campo no necesariamente varía sobre 1/r^2. así que el delta de Dirac no va a Pop up.

Por práctica me refiero a consideraciones prácticas de V-> 0

En la práctica, tomamos muchas más partículas. Usted acaba de agregar una partícula cargada más. Ahora tienes 2 particulas cargadas, y solo imagina un dipolo, ahora obtendras un campo variando sobre 1/r^3.Ahora tambien el delta de Dirac no entrara en escena.uno puede ver por calculo que incluso si uno toma un granero por area entonces tambien contendra mas de una particula cargada (digamos proton). Así que el argumento de la delta de Dirac es poco profundo en la práctica.

Digamos que usted toma una distribución de carga lineal, cuando usted toma un elemento de volumen para su experimento, simétricamente su elemento de volumen en sí mismo debe ser algo como la línea (como en la ley de Gauss). No tiene sentido decir que estoy tomando una distribución de carga lineal y tomando el flujo de la profundidad del electrón, si usted está preocupado por un electrón, entonces no tiene sentido hacer una distribución lineal, esférica, areal. Si usas las propiedades de la distribución lineal o plana entonces no vas a obtener la función delta. debes considerar al menos miles de electrones para que al menos puedas decir

¡Oh! parece planar, o lineal

Entonces, el fallo es que primero dijiste que tomabas carga continua (aquí, eres matemático) ,

calculamos la divergencia de la carga puntual en el origen

Entonces usted tomó una carga (Usted es ahora práctico), porque matemáticamente, V-> 0 no significa una sola carga. Así que dio un resultado absurdo. Tomar una carga no es posible ni matemáticamente ni prácticamente .**