Comprobación de la viabilidad

Question

He oído hablar (todavía no he aprendido) del teorema de incompletitud de Gödel, que dice que hay algunos enunciados indemostrables.

Supongamos ahora que sospechamos que existe alguna regla. Y la regla sigue sin demostrarse a pesar del esfuerzo de varias décadas, o de varios siglos (al igual que las conjeturas). Entonces sospechamos la posibilidad de que, en realidad, la propia regla sea indemostrable.

Entonces, ¿hay algún método trivial para determinar si una afirmación es demostrable o no? Supongo que sí, ya que los científicos han marcado algunas afirmaciones como axiomas y los han dejado sin probar.

Si esta pregunta no es demasiado estúpida para ser contestada, y alguno de ustedes quiere responderla, por favor proporcione un ejemplo en el que se demuestre la improbabilidad de un axioma bien conocido (preferiblemente, un axioma geométrico simple como el axioma de Playfair).

Answer 1

En general, no existe un método trivial para demostrar que una afirmación es o no demostrable en un sistema de axiomas dado. Solemos llamar a estos enunciados independientes.

En la teoría de conjuntos y en las matemáticas fundamentales se habla a menudo de la consistencia de los enunciados. Por ejemplo, CH (la hipótesis del continuo, que es la afirmación de que no hay conjuntos cuyo tamaño sea estrictamente mayor que el de los números naturales y estrictamente menor que el de los números reales) se ha demostrado independientemente del sistema de axiomas ZFC.

La prueba de la independencia suele constar de dos partes. Me centraré en la CH sobre ZFC sólo para simplificar la exposición.

Hay que demostrar que ZFC + CH es consistente asumiendo que ZFC es consistente. En el caso de CH, esto se suele hacer refiriéndose a L o al universo construible de Godel.

Entonces también debe demostrar que ZFC + $\neg$ CH. En el caso de la CH, esto se suele hacer mediante una técnica llamada forzamiento.

Aunque la CH es probablemente una de las afirmaciones más fáciles (sensatas) que pueden demostrarse independientes, ninguna de las dos partes es particularmente fácil de hacer.

Answer 2

Supongamos que T es un conjunto de axiomas y $\varphi$ es una regla. Si puedes encontrar un modelo que haga que T sea verdadera, pero $\varphi$ falso, entonces según el teorema de completitud de Gödels, no podemos deducir $\varphi$ utilizando sólo los axiomas de T.

Para dar un ejemplo visual, si sólo se tiene el axioma "Existen tres puntos", entonces no se puede demostrar la afirmación "Existen tres puntos que están en una línea", ya que podemos tener un modelo que conste de tres puntos no lineales. Por lo tanto, nuestro axioma es verdadero, pero no la afirmación.

Este método es una buena manera, si se tiene un buen conjunto de axiomas, de demostrar que no se pueden demostrar entre sí. Sin embargo, este método no es trivial en general. Si existiera una forma trivial de demostrar que un enunciado es demostrable o no, no tendríamos tantos teoremas no demostrados.

Axiomas no deben considerarse afirmaciones no probadas, sino suposiciones originales. Se pueden considerar muchos sistemas de axiomas diferentes al hacer matemáticas, pero el más común es la llamada "aritmética de Peano", que describe los axiomas para el conteo regular. Lo importante de un conjunto de axiomas es que sean consistentes, es decir, que no se contradigan entre sí. A veces, se descubre que los axiomas son incoherentes, en cuyo caso toda la matemática realizada para ello puede descartarse esencialmente. Una parte del teorema de incompletitud de Gödels es que no podemos, utilizando sólo los axiomas de la aritmética de Peano, demostrar que son consistentes.