¿Qué hay de malo en ese recuento de $S_{3}\times S_{3}$ ¿subgrupos?

Question

Quiero encontrar todos los subgrupos 2-silenciosos de $S_{3}\times S_{3}$ . Sé que hay nueve subgrupos de este tipo, pero he intentado contarlos de la siguiente manera Sé que cada subgrupo 2-silvestre es isomorfo a $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ y hay 15 elementos de orden 2 en $S_{3}\times S_{3}$ . Todo subgrupo que sea isomorfo a $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ es generado por 2 elementos diferentes de orden 2 - y tengo $15\cdot\left(15-1\right)$ formas de seleccionar 2 generadores. pero cada uno de estos subgrupos está generado por $3\cdot\left(3-1\right)$ parejas de generadores, por lo que tengo $\frac{15\cdot\left(15-1\right)}{3\cdot\left(3-1\right)}=35$ subgrupos que son isomorfos a $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ . ¿Qué ocurre?

Answer 1

No todos los pares de orden $2$ genera un $2$ -Sylow subgrupo. Por ejemplo $((1 \ 2), 1)$ y $((2 \ 3), 1)$ generar $S_3 \times 1$ .

Answer 2

Cada subgrupo deseado tendrá exactamente un elemento de la forma $(a,e)$ y un elemento de la forma $(e,b)$ . Hay tres de cada tipo.

Answer 3

No todo par de elementos de orden 2 genera un subgrupo Sylow. De hecho, esto ocurre si y sólo si los pares son de la forma $(x,e),(e,y)$ donde $e$ es la identidad. Si los pares tienen la forma $(x,e),(y,e)$ o $(e,x),(e,y)$ entonces el subgrupo generado es uno de los factores del producto directo, por lo que tiene orden 6 y es isomorfo a $S_3$ .