Suma de las series de Fourier para $f(t) = (t+1) \cos t$ en $t = 3\pi$

Question

Así que tengo esta pregunta aquí (escribo toda la pregunta):

Si $f(t)=(t+1)\cos (t)$ para $-\pi < t < \pi$ ¿Cuál es la suma de la serie de Fourier para $f(t)$ en $t=3 \pi$ ?

Mi solución es ésta:

SI la función es $2\pi$ -periódica puedo simplemente calcular el valor medio de $f(-\pi)$ y $f(\pi)$ ya que las series de Fourier convergen al valor medio en las discontinuidades, ¿no? Esa es también la respuesta que se indica en el manual de soluciones. Pero ¿cómo sé que esa función es en realidad $2\pi$ -¿periódico? ¿Cómo sé que la función no tiene otras propiedades en los intervalos fuera de éste? Solo pregunto esto para estar seguro de que no estoy pensando demasiado en estas cosas..

Answer 1

Ampliando el comentario del Dr. MV, consideremos una serie de Fourier para $f$ en $-L<x<L$ ,

$$f(x) = \sum_\limits{n=-\infty}^\infty c_n e^{i n \pi x/L}$$

¿Cuál es el período de la serie ampliada? ¿Y si $L=\pi$ como en su caso - ¿cuál es el período?

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Cuando se restringe el dominio de la suma a $[-L,L]$ se obtiene $f$ en ese intervalo, que recrea la función original. Nótese que la longitud de este intervalo es $2L$ .

Cuando se afloja la restricción, como para definir la suma para cualquier $x \in \mathbb{R}$ la periodicidad de la RHS entra en juego. Periódicamente, se trazará un mapa de $f$ en "trozos" de longitud $2L$ .