Derivada de un determinante

Question

¿Cómo puedo lograr eso? ¿Es alguna aplicación de la Regla de la Cadena considerando la determinante como una función de la función vectorial $f$?

Notación $d_{i j}$ es el cofactor de $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ en la matriz Jacobiana y $\partial_i$ representa la derivada parcial con respecto a $x_i$

La parte resaltada es solo porque creo que es un error tipográfico!!!

Una consecuencia importante de esto, que puedo obtener con un poco de trabajo, es la siguiente:

Sea $f$ una función infinitamente diferenciable de $x_0,x_1,..,x_n$, $f: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}^n$

Sea $A_i$ la matriz con columnas las derivadas parciales $f_{x_0},..,f_{x_{i-1}},f_{x_{i+1}},..,f_{x_{n}}$ y sea, para todo $i\not = j$, $C_{ij}$ la matriz con columnas $\displaystyle f_{x_i x_j},f_{x_0},..,f_{x_n}$ excluyendo $f_{x_i}$ y $f_{x_j}$

Entonces

$\displaystyle \frac{\partial{\det(A_i)}}{{\partial x_i}} = \sum_{ji}(-1)^{j-1} \det(C_{ij})$

Answer 1

Encontrar $ \det'(A) $ para $ \det : \mathbb{R}^{n^2} \rightarrow \mathbb{R}$ es fácil si $ A $ es invertible. Observa que $ f(x) = \det(xI + B) $ es el polinomio característico para $-B$. Por lo tanto, si $f(x) = x^n + ax^{n-1} + .... $ entonces $-a$ es la suma de las raíces, es decir, $ -a = tr(-B) $, por lo tanto $ a = tr(B) $. Así que es fácil ver que para cualquier norma de matriz $\|.\| $ $$ f(1) = \det(I + B) = 1 + tr(B) + O(\|B\|^2) $$ Entonces si $ A $ es invertible, entonces $\det(A+H) = \det(A)\det(I + A^{-1}H) $, usando la relación anterior obtenemos $$ \det(A+H) = \det(A) + \det(A)tr(A^{-1}H) + O(\|H\|^2) $$ Por lo tanto $ \det'(A)(H) = \det(A)tr(A^{-1}H) $.