Demuestre que si A es una matriz simétrica real de n por n con $A^k$ =Id para algún k $\ge$ 1. Entonces $A^2$ =Id.

Question

Mi intento

Prueba. Sabemos que si $A^k$ =id para algún k $\ge$$1$ , entonces A= $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$ o $A^k$ = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$ para algún k $>$$1$ por propiedades de la multiplicación de matrices así para k=2, tenemos que $A^2$ =(id)(id)=(id), como se afirma.

Nótese que id denota la matriz de identidad.

No estoy seguro de si mi planteamiento aquí es correcto, pero argumenté que dado el planteamiento del problema por el cual $A^k$ =id para algún k al menos 1, esto significa que k es al menos 1 s.t. $A^1$ =id se mantiene? Por lo tanto, si $A^1$ =id, entonces por propiedades de la multiplicación de matrices $A^2$ =id. Puede que lo esté interpretando mal, pero entiendo que la puerta "OR" tiene el 75% del espacio muestral disponible. En otras palabras, si algún k=1 es verdadero y algún k>1 es verdadero, entonces usando el hecho de que $A^1$ =id, podemos razonar que $A^2$ =id?

Answer 1

Editar : La fuente de su confusión parece provenir de la frase "para algunos $k\geq1.$ " Usted está entendiendo correctamente el $k\geq 1$ parte, esto significa $k$ podría ser $1,2,3,4,5,$ etc.-pero parece que usted piensa que se nos permite elegir $k=1.$ Esto es absolutamente falso. Para un ejemplo sencillo, considere $A=-I,$ para que $A^1\neq I,$ pero $A^2=I.$

Más bien, debemos considerar $k$ sea un número entero positivo completamente arbitrario. Por decirlo de otro modo, podríamos considerar esta afirmación como la siguiente colección de afirmaciones relacionadas:

1. Si $A$ es un $n\times n$ matriz simétrica real y $A^1=I,$ entonces $A^2=I.$

2. Si $A$ es un $n\times n$ matriz simétrica real y $A^2=I,$ entonces $A^2=I.$

3. Si $A$ es un $n\times n$ matriz simétrica real y $A^3=I,$ entonces $A^2=I.$

4. Si $A$ es un $n\times n$ matriz simétrica real y $A^4=I,$ entonces $A^2=I.$

5. Si $A$ es un $n\times n$ matriz simétrica real y $A^5=I,$ entonces $A^2=I.$

6. Si $A$ es un $n\times n$ matriz simétrica real y $A^6=I,$ entonces $A^2=I.$

y así sucesivamente.

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Añadido : Permítanme dar alguna terminología que pueda aclarar las cosas.

Dada una matriz cuadrada $B,$ si no hay ningún número entero $k\ge 1$ para lo cual $B^k=I,$ decimos que $B$ tiene orden infinito . En caso contrario, decimos que $B$ tiene orden finito y definir el orden de $B$ para ser el menor número entero $k\ge 1$ para lo cual $A^k=I.$

La afirmación dice que si una matriz simétrica real $A$ tiene un orden finito, entonces tiene un orden $1$ (lo que significa que $A=I$ ) o tiene orden $2$ (lo que significa que $A\neq I$ y $A^2=I$ ).

Como consecuencia de esto, si te dijera que estoy pensando en una matriz simétrica real no identitaria $A,$ se podría concluir inmediatamente que $A^k\neq I$ siempre que $k$ es un entero impar positivo, a pesar de no saber literalmente nada más sobre mi matriz. Si te dijera además que he calculado $A^{2640887552}$ y descubrió que era la matriz de identidad, entonces (asumiendo que no estaba mintiendo) podría concluir que $A^2=I,$ a pesar de no saber cuál es mi matriz, ¡ni siquiera qué tamaño tiene! Además, podría concluir que $A^k=I$ para todos los enteros positivos pares $k.$