Homeomorfismo de identidad para demostrar que un espacio topológico es un colector topológico

Question

Dejemos que $M$ sea un espacio topológico. Dado $M=R^n$ Es una $n$ colector topológico porque $M$ es Hausdorff, su topología contiene una base contable y $M$ es homeomrfico a $R^n.$ Para esto último dejemos $U=M, V=R^n$ entonces $x=\mathrm{id}$ , $x:U \rightarrow V$ es un homeomorfismo.

Tomemos la esfera en $R^3$ . Por el mismo razonamiento anterior encontramos que la Esfera en $R^3$ es una variedad topológica 3, en lugar de buscar una carta complicada o un homeomorfismo. Tal vez se podría seguir con otros espacios topológicos.

Mis preguntas son:

1. Por qué casi nunca se considera este homeomorfismo/carta, excepto en el caso $M=R^n ?$

2. Si en el caso de la esfera en $R^3$ tomamos ese homeomorfismo, concluimos que la esfera es un $3$ dim topological manifold, mientras que normalmente se considera como 2 dimensional manifold. ¿Es un error considerar la esfera como un $3$ dim topological manifold si se considera la identidad como un homeomorfismo ?

3. Si el razonamiento de utilizar ese homeomorfismo (trivial) es correcto, ¿puede dar un ejemplo de una variedad topológica para la que no se pueda tomar ese homeomorfismo de identidad para demostrar que un espacio topológico es una variedad topológica?

Muchas gracias.

Answer 1

¿Puede exhibir un conjunto abierto en $\mathbb{R}^3$ que está en el dominio del mapa de identidad a $S^2 \subset \mathbb{R}^3$ ?

Los homeomorfismos son mapas abiertos continuos, por lo que mapean conjuntos abiertos a partir de conjuntos abiertos y conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Las preimágenes de bolas abiertas en $S^2$ son discos (homeomórficos a) en $\mathbb{R}^3$ utilizando el mapa de identidad. Los discos no están abiertos en $\mathbb{R}^3$ . En la otra dirección, no hay conjuntos abiertos de $\mathbb{R}^3$ que se asignan a $S^2$ por el mapa de identidad. Así que el mapa de identidad no es un homeomorfismo entre $\mathbb{R}^3$ y $S^2$ .