$X_{T-}$ es $\mathcal{F}_{T-}$ medible.

Question

Por definición, $\mathcal{F}_{T-}=\mathcal{F}_0 \vee \sigma(A\cap \{ t<T\}, A \in \mathcal{F}_t, t \in [0,\infty[)$ .

¿Por qué es $X_{T-}$ a $\mathcal{F}_{T-}$ ¿función medible?

Editar:

Aquí está mi intento. Según la definición de $Y$ y como $X$ es continua a la derecha, $Y$ es un proceso continuo. También sabemos que $T$ es un $\mathcal{F}_{T-}$ función medible, entonces la composición de $Y$ y $T$ da una $\mathcal{F}_{T-}$ función medible. Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea correcto, ya que $Y(T(\omega),\omega)$ Y el segundo componente lo he dejado un poco de lado...

Answer 1

Para cada $n\ge 1$ y $k\ge 0$ (enteros), la variable aleatoria $$ Y_{k\cdot 2^{-n}}\cdot 1_{\{k2^{-n}< T\le (k+1)2^{-n}\}} $$ es $\mathcal F_{T-}$ -Medible. (¿Por qué?) Por lo tanto, también lo es la suma $$ X_01_{\{T=0\}}+\sum_{k=0}^\infty Y_{k\cdot 2^{-n}}\cdot 1_{\{k2^{-n}< T\le (k+1)2^{-n}\}}, $$ que converge puntualmente a $Y_{T}$ en el evento $\{T<\infty\}$ porque $Y$ se deja continua.