Existe una formula para $(1+i)^n+(1-i)^n$?

Question

Me pregunto si existe una fórmula para el valor de $(1+i)^n+(1-i)^n$?

He calculado el primero de los términos que empiezan con $n=1$ a, con el fin de, $2$, $0$, $-4$, $-8$, $-8$, $0$, $16$, $\dots$

Así que parece ser que algunos de secuencia positiva y negativa de los poderes de $2$ $0$s de la lanzada. Es allí una manera más explícita formulación de lo $(1+i)^n+(1-i)^n$ es $n$?

Con el teorema del binomio, me da igual $$ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{n-k}(1+(-1)^{n-k}). $$ Esto puede ser hecho mejor? Gracias.

Answer 1

Debemos evitar el teorema del binomio.

• Desde $1-\mathrm i$ es el conjugado de a $1+\mathrm i$, el número de $\color{red}{x_n=(1+\mathrm i)^n+(1-\mathrm i)^n}$ es el doble de la parte real de la $(1+\mathrm i)^n$.

• Desde $\frac{1+\mathrm i}{\sqrt2}=\mathrm e^{\mathrm i\pi/4}$, $(1+\mathrm i)^n$ es $(\sqrt2)^n$ veces $\mathrm e^{\mathrm in\pi/4}$.

• La parte real de la $\mathrm e^{\mathrm in\pi/4}$$\cos(n\pi/4)$.

Por lo tanto, $\color{red}{x_n=\ldots}$

Answer 2

En primer lugar, observa que el $1+i = \sqrt2(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}$) y $1-i = \sqrt2(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.

El uso de la fórmula de Moivre y el hecho de que $\sin$ es impar y $\cos$ es incluso, obtenemos

\begin{align*} (1+i)^n + (1-i)^n &= 2(\sqrt2)^n\cos\frac{n\pi}{4} \end{align*}

Answer 3

Esto no es particularmente una solución elegante, pero una ruta alternativa es simplemente tenga en cuenta que $(1 \pm i)^2 = \pm 2i$. Voy a mostrar un montón de pasos, pero este método sólo involucra muy fácil cálculos. Si $n$ es par, entonces

$$ (1\pm i)^n = \left((1+i)^2\right)^{ \frac{n}{2}}= (\pm 2i)^{n/2} = \left\{ \begin{array}{ccl} 2^{n/2} & & n = 8k \\ \pm i \cdot 2^{n/2}& & n = 8k +2 \\ i \cdot 2^{n/2} & & n = 8k + 4 \\ \mp i 2^{n/2} & & n = 8k + 6 \end{array} \right. $$

Por lo tanto,

$$(1+i)^n + (1-i)^n = \left\{ \begin{array}{ccl} 2^{\frac{n}{2}+1} & & n = 8k \\ 0 & & n = 8k+2 \text{ or } n = 8k+6 \\ i \cdot 2^{\frac{n}{2}+1} & & n = 8k + 4 \end{array} \right. $$

Esto es todo lo que necesita ya que si $n$ es impar, entonces $n-1$ es incluso. Por ejemplo, cuando se $n = 8k + 1$, tenemos $$\begin{align} (1+i)^n + (1 - i)^n &= (1+i)^{n-1}(1+i) + (1 -i)^{n-1}(1-i) \\ &= 2^{\frac{n-1}{2}}(1+i) + 2^{\frac{n-1}{2}} (1-i) \\ &= 2^{\frac{n-1}{2}} + i 2^{\frac{n-1}{2}} + 2 ^{\frac{n-1}{2}} - i 2^{\frac{n-1}{2}} \\ &= 2\cdot 2^{\frac{n-1}{2}} \\ &= 2^{\frac{n+1}{2}}. \end{align}$$

Los casos $n = 8k+3$, $n=8k+5$, y $n = 8k + 7$ seguir de manera similar.

Answer 4

$(1+i)^n+(1-i)^n = 2 \Re ((1+i)^n)$. Ahora expandir $(1+i)^n$ usando el teorema del binomio. La parte real es la formada por los números impares términos.

Otro enfoque es tener en cuenta que el $(1+i)/\sqrt{2}$ es un 8-ésima raíz de la unidad y por lo $(1+i)^n$ sólo depende de $n \bmod 8$, excepto para una potencia de $\sqrt{2}$.

Answer 5

Calcular!

$(1+i)^0=1$, lo $(1-i)^0=1$, lo $(1+i)^0+(1-i)^0=2$.

$(1+i)^1=1+i$, lo $(1-i)^1=1-i$, lo $(1+i)^1+(1-i)^1=2$ .

$(1+i)^2=2i$, lo $(1-i)^2=-2i$, lo $(1+i)^2+(1-i)^2=0$.

$(1+i)^3=-2+2i$, lo $(1-i)^3=-2-2i$, lo $(1+i)^3+(1-i)^3=-4$.

$(1+i)^4=-4$, lo $(1-i)^4=-4$, lo $(1+i)^4+(1-i)^4=-8$.

Ahora el juego comienza de nuevo. El patrón de las primeras cuatro entradas continúa para siempre, excepto que cada vez que $n$ se incrementa por $4$, se multiplica por $-4$, por la sencilla razón de que $(1+i)^4=(1-i)^4=-4$.

Deje $n=4k+r$, donde $r=0$, $1$, $2$, o $3$. Entonces

$(1+i)^n+(1-i)^n=2(-4)^k=(-1)^k 2^{2k+1}$ si $\;r=0\;$ o $\;r=1$.

$(1+i)^n+(1-i)^n=0$ si $\;r=2$.

$(1+i)^n+(1-i)^n=(-4)^{k+1}=(-1)^{k+1}2^{2k+2}$ si $\;r=3$.

Comentario: Más brevemente, ya que $(1+i)^4=(1-i)^4=-4$, tenemos $$(1+i)^{4k+r}=(-4)^k (1+i)^r\qquad\text{and}\qquad (1-i)^{4k+r}=(-4)^k (1-i)^r,$$ y por lo tanto $$(1+i)^{4k+r}+(1-i)^{4k+r}=(-4)^k\left((1+i)^r+ (1-i)^r \right).$$ Tenga en cuenta que los "casos" de la expresión para $(1+i)^n+(1-i)^n$ puede ser hecho en una sola expresión en diversas formas.