¿Por qué esta expansión de la serie para $\frac{1}{\cos(x)}$ fallar usando $\frac{1}{1-x}$ ?

Question

Estoy tratando de hacer la expansión de Taylor (segundo orden) para $$\frac{1}{\cos(x)}$$ utilizando $$\frac{1}{1-x}$$

Lo que hago es escribir

$$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdot\cdot\cdot, \text{ at } x_0=0$$

y

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdot\cdot\cdot$$

así que

$$\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{1-(1-\cos(x))}=1+(1-\cos(x))+(1-\cos(x))^2$$ $$=1+(1-1+\frac{x^2}{2!})+(1-1+\frac{x^2}{2!})^2$$ $$=1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^4$$

que es correcto hasta el orden 2 ( o la orden 1? ), pero el coeficiente de $x^4$ (¿es de tercer o cuarto orden?) está mal.

¿Por qué? ¿Cómo puedo obtener los coeficientes correctos para los órdenes superiores?

Y si sólo quiero el polinomio de Taylor de 2º orden, entonces cuál es el término $\frac{1}{4}x^4$ ?

Answer 1

¿Por qué haces las cosas más complejas de lo que son?

Si quieres la expansión de esta función, digamos hasta el orden $6$ simplemente escriba $\;\dfrac1{\cos x}=\dfrac1{1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{x^6}{720}+o(x^7)}$ , por ejemplo, y establecer $$u=\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^4}{24}+\dfrac{x^6}{720}+o(x^7)$$ Ahora haz los cálculos para $\dfrac1{1-u}$ por encargo $3$ (ya que la parte polinómica de $u$ tiene orden $2$ ), truncando los resultados de cada potencia en el orden $6$ : \begin{alignat}{5} 1+u&=1+\frac{x^2}2&&-\frac{x^4}{24}&&+\frac{x^6}{720}&&+o(x^7)\\ {}+u^2&=&&+\frac{x^4}{4}&&-\frac{x^6}{24}&&+o(x^7)\\ {}+u^3&=&&&&+\frac{x^6}{8}&&+o(x^7)\\ \hline \frac1{\cos x}&=1+\frac{x^2}2&&+\frac{5x^4}{24}&&+\frac{59x^6}{24}&&+o(x^7) \end{alignat}

Alternativamente , se puede dividir $1$ por $1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{x^6}{720}$ por aumento de los poderes (¡no la división euclidiana!) hasta el grado $6$ .

Answer 2

No has calculado así los coeficientes de tercer y cuarto orden, sólo los de segundo (tienes algunos $o(x^2)$ restantes del primer término, de los cuales el $\frac{x^4}{4}$ forma parte).

Para obtener el cuarto (el tercero es nulo por paridad), se necesitan todos los términos que den un coeficiente de cuarto orden, de modo que sólo se queda con algunos $o(x^4)$

En su caso, para el cuarto coeficiente, sería

$\frac{1}{cos(x)} = 1 + (1-1+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!} + o(x^4))+(1-1+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!} + o(x^4))^2$

$= 1 + \frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!} + \frac{x^4}{4} + o(x^4) = 1 + \frac{x^2}{2!}+\frac{5x^4}{24} + o(x^4)$