El gran Landau $O$ , $4x^5 - x^4 = O(\cdot)$

Question

Actualmente estamos haciendo la serie de Maclaurin y Taylor y recientemente nos hemos encontrado con la gran $O$ Sin embargo, no tengo ni idea de cómo enfocar esta cuestión.

Completa la siguiente expresión:

$4x^5 - x^4 = O(\cdot) \enspace\text{as} \enspace x \rightarrow 0$

(La respuesta debe ser del tipo $x^n$ )

Una explicación paso a paso sería genial. Gracias.

Answer 1

$$\lim_{x\to0} \frac{4x^5-x^4}{x^4} = c = -1$$ Así, $$4x^5-x^4=\mathcal{O}(x^4), \ \ x\to 0$$

Answer 2

El pequeño $o()$ La notación es quizás un poco más fácil de entender, $o(f(x))$ designar algo que es muy pequeño en comparación con $f(x)$ [es decir, su proporción llega a cero].

Es fácil demostrar que $f(x)+o(f(x))=O(f(x))$

Tenga en cuenta también que $o()$ y $O()$ no se ven afectados por los coeficientes multiplicativos $O(f(x))=O(\alpha f(x))$ y generalmente los omitimos.

En una vecindad de cero tenemos $\dfrac{x^5}{x^4}=x\to 0$ así $x^5=o(x^4)$

Así, $4x^5-x^4=o(x^4)-x^4=O(x^4)$

Cuando obtengas una expresión, sólo tienes que averiguar cuál es el término dominante, y será tú $O$ plazo, siendo todos los demás $o$ términos.

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Si por el contrario $x\to\infty$ las cosas se invierten. El término dominante depende del contexto, alrededor del cual se produce el límite, por lo que la notación de Landau depende del contexto ( $x\to x_0$ El $x_0$ está implícito).

Ahora $x^5\gg x^4$ y obtenemos $x^4=o(x^5)$ y $4x^5-x^4=4x^5+o(x^5)=O(x^5)$