La condición necesaria y suficiente de un subespacio lineal

Question

He sabido que si $E$ es un $K$ -espacio vectorial, y $F$ es un subconjunto de $E$ entonces $F$ es un subespacio lineal si y sólo si:

• $F \ne \emptyset$
• $\forall (x, y) \in F^2,\ then \ x + y \in F$
• $\forall\lambda\in K,\ \forall x \in F, then \ \lambda x\in F$

A partir de esto, también puedo demostrar que $F$ es un subespacio lineal si y sólo si:

• $F \ne \emptyset$
• $\forall(\lambda,\mu)\in K^2,\ \forall (x, y) \in F^2, then \ \lambda x + \mu y\in F$

Pero he leído en algunos libros de texto que hay otra condición para $F$ sea un subespacio lineal. La condición es que $F$ es un subespacio lineal si y sólo si:

• $F \ne \emptyset$
• $\forall\lambda \in K,\ \forall (x, y) \in F^2, then \ \lambda x + y\in F$

He conseguido demostrar la condición necesaria ( $F\ is\ linear \ subspace \implies ...)$ . Pero para la condición suficiente ( $F\ is\ linear\ subspace \impliedby ...)$ , todavía no sé cómo probarlo. ¿Puede alguien ayudarme con esto?

Answer 1

Dejemos que $\lambda,\mu\in K$ y $x,y\in F$ . Tenemos

$$(\underbrace{\lambda-1}_{=\lambda'})x+y\in F$$ y

$$(\underbrace{\mu-1}_{=\mu'})y+x\in F$$ por lo que si lo sumamos obtenemos

$$\lambda x+\mu y\in F$$

Nota: Tenga en cuenta que si $x,y\in F$ y con $\lambda=1$ obtenemos $x+y\in F$ . Esto justifica que la suma de dos vectores de $F$ es un vector de $F$ .