He sabido que si $E$ es un $K$ -espacio vectorial, y $F$ es un subconjunto de $E$ entonces $F$ es un subespacio lineal si y sólo si:
- $F \ne \emptyset$
- $\forall (x, y) \in F^2,\ then \ x + y \in F $
- $\forall\lambda\in K,\ \forall x \in F, then \ \lambda x\in F$
A partir de esto, también puedo demostrar que $F$ es un subespacio lineal si y sólo si:
- $F \ne \emptyset$
- $\forall(\lambda,\mu)\in K^2,\ \forall (x, y) \in F^2, then \ \lambda x + \mu y\in F$
Pero he leído en algunos libros de texto que hay otra condición para $F$ sea un subespacio lineal. La condición es que $F$ es un subespacio lineal si y sólo si:
- $F \ne \emptyset$
- $\forall\lambda \in K,\ \forall (x, y) \in F^2, then \ \lambda x + y\in F$
He conseguido demostrar la condición necesaria ( $F\ is\ linear \ subspace \implies ...)$ . Pero para la condición suficiente ( $F\ is\ linear\ subspace \impliedby ...)$ , todavía no sé cómo probarlo. ¿Puede alguien ayudarme con esto?