Diferenciación de $\dfrac{d(\sin x)^{\ln x}}{dx}$

Question

¿Cuál es el valor de $\dfrac{d(\sin x)^{\ln x}}{dx}$ ?

Mi intento:

He aplicado la regla de la cadena de la siguiente manera:

$$\frac{d\sin(x)^{\ln x}}{d\ln x}\cdot \frac{d(\ln x)}{dx} = \ln x\sin x^{\ln x -1} \cdot \frac{1}{x}$$

Sin embargo mi respuesta no coincide con la que se da en la clave. ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

$$ \frac d {dx} (\sin x)^{\ln x} = \frac d {dx} (e^{\ln\sin x})^{\ln x} = \frac d {dx} e^{(\ln\sin x)(\ln x)} = \cdots $$ Aquí puedes utilizar la regla de la cadena y la regla del producto.

Answer 2

Ya has recibido respuestas que muestran cómo hacerlo a la derecha . Pero déjame también explicar lo que hiciste equivocada . La parte equivocada fue su "derivado" $$\frac{d\sin(x)^{\ln x}}{d\ln x}\stackrel{??}=\color{red}{\ln x\sin x^{\ln x-1}}.$$

Usted aplicó el llamado Regla de poder aquí: $$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1},$$ que sólo es aplicable cuando el exponente es constante . Pero en su caso no es constante (es $\ln(x)$ con respecto a la cual se está tomando la derivada), por lo que esta regla no se puede aplicar aquí.

Tenga en cuenta que tampoco puede tratar esta función como una función exponencial, porque la base $\sin(x)$ no es constante: por muy confuso que parezca, debido al enfoque que has elegido, $\sin(x)$ no es constante con respecto a $\ln(x)$ .