Función zeta de Riemann en enteros positivos y una secuencia de Appell de polinomios relacionados con el cálculo fraccionario

Question

Estaba explorando algunos operadores de subida y bajada relacionados con un generador infinitesimal para integrales fraccionarias y encontré un Secuencia de apelación de polinomios, es decir, una secuencia infinita de polinomios para los que $\frac{d}{dx}p_n(x)=np_{n-1}(x)$ que se define por la siguiente relación de recursión:

$p_{0}(x)=1$ , $p_{1}(x)=x+\gamma$ y para $n>0$ $$p_{n+1}(x)=(x+\gamma)p_{n}(x)+\sum_{j=1}^{n}(-1)^j\binom{n}{j}j!\zeta (j+1)p_{n-j}(x)$$

donde $\gamma=-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta }\beta !\mid_{\beta =0 }$ la constante de Euler-Mascheroni, y $\zeta(s)$ es la función zeta de Riemann.

Satisfacen $$p_{n}(x)=\frac{\mathrm{d^n} }{\mathrm{d} \beta^n }\frac{\exp(\beta x)}{\beta !} \mid_{\beta =0 }.$$

Explícitamente,

$$p_2(x)=(x+\gamma)^2-\zeta(2)$$ $$p_3(x)=(x+\gamma)^3-3\zeta(2)(x+\gamma)+2\zeta(3)$$ $$p_4(x)=(x+\gamma)^4-6\zeta(2)(x+\gamma)^2+8\zeta(3)(x+\gamma)+3[\zeta^2(2)-2\zeta(4)]$$ $$p_5=p_1^5-10\zeta(2)p_1^3+20\zeta(3)p_1^2+15[\zeta^2(2)-2\zeta(4)]p_1+4[-5\zeta(2)\zeta(3)+6\zeta(5)]$$

¿Puede alguien proporcionar una referencia para estos polinomios o señalar una interpretación combinatoria interesante?

_Antecedentes: Ricas asociaciones con el cálculo fraccionario, digamma función, operadores de escalera_

La integro-derivada fraccionaria puede representarse como un generador infinitesimal convolutivo exponenciado (cf. MSE-Q125343 ):

$\displaystyle\frac{d^{-\beta}}{dx^{-\beta}}\frac{x^{\alpha}}{\alpha!}= \displaystyle\frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!} = exp(-\beta R_x) \frac{x^{\alpha}}{\alpha!}$

donde

$$R_xf(x)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z)dz$$

$$=(-ln(x)+\lambda)f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du.$$

con $\lambda=d\beta!/d\beta|_{\beta=0}$ . (Nótese que el integrando está relacionado con el q (Jackson) derivada y el Derivado de Pincherle / conmutador es $[R_x,x]=D_x^{-1}$ .)

Entonces $$exp(-\beta R_x) 1 =\displaystyle\frac{x^\beta}{\beta!} = exp(-\beta\psi_{.}(x)), $$

con $(\psi_{.}(x))^n=\psi_n(x)$ , lo que implica

$$\psi_{n}(x)=(-1)^n \frac{d^n}{d\beta^n}\frac{x^\beta}{\beta!}|_{\beta=0},$$ $$L_x\psi_{n}(x)=n\psi_{n-1}(x)=-x\displaystyle\frac{d}{dx}\psi_{n}(x),$$ $$R_x\psi_{n}(x)=\psi_{n+1}(x).$$

Dejemos que $x=e^z$ y $p_n(z)=(-1)^n \psi_{n}(e^z)$ . Entonces

$$exp(-\beta R_z) 1 =\displaystyle\frac{exp(\beta z)}{\beta!} = exp(\beta p_{.}(z)), $$

$$L_z p_{n}(z)=n p_{n-1}(z)=\displaystyle\frac{d}{dz} p_{n}(z),$$ $$R_z p_{n}(z)= p_{n+1}(z)= (z+\gamma)p_n(z)-\displaystyle\int_{-\infty}^{z}\frac{p_n\left ( z\right )-p_n(u)}{e^z-e^u} e^u du$$

con $\gamma=-d\beta!/d\beta|_{\beta=0}$ la constante de Euler-Mascheroni.

Desde $p_n(z)$ es una secuencia de Appell y, en consecuencia, $p_n(x+y)=(p.(x)+y)^n$ , umbralmente, un cambio de variables de integración $\omega=z-u$ da

$$R_z p_{n}(z)= p_{n+1}(z)= (z+\gamma)p_n(z)-\displaystyle\int_{0}^{\infty}[p_n(z)-(p_{.}(z)-\omega)^n] \frac{1}{e^{\omega}-1}d\omega$$

de la que se desprende la fórmula de recursión.

Además, utilizando el formalismo del operador para Secuencias de Sheffer de los cuales el Appell es un caso especial,

$$R_z=z-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}ln[\beta!]\mid _{\beta=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}=D_z}=z-\Psi(1+D_z)$$

donde $\Psi(x)$ es el función digamma o Psi .

ACTUALIZACIÓN (16 de noviembre de 2012) : Acabo de encontrar esta secuencia exacta en la tesis " Clases de Euler equivariantes regularizadas y funciones gamma " por R. Lu con una discusión de las relaciones con las clases de Chern y Pontrjagin.

Answer 1

Dejemos que $P_i$ sea la función simétrica de la suma de potencias. En su $p_n$ , Sustituir $x+\gamma$ por $P_1$ y $\zeta(i)$ por $P_i$ . A continuación, divide el resultado entre $n!$ . Lo que se obtiene se parece a una función simétrica bien conocida, que corresponde a la representación del signo del grupo simétrico $S_n$ .

Answer 2

Seguimiento sobre las observaciones de Rupinski y Chapoton:

Para identificar el $p_n(x)$ con el polinomios de índice de ciclo para $S_n$ (o los polinomios de partición de los números de Stirling refinados del primer tipo A036039 ), mira la serie Taylor rep del operador digamma para el operador de elevación/creación para el $p_n(z)$ base

$$R_z = z-\Psi(1+D_z) = z+\gamma + \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1)D_z^n.$$

Se trata precisamente del operador de elevación de los polinomios de índice de ciclo que se presenta en la página 23 de Lagrange à la Lah Parte I con $c_1=z+\gamma=p_1(x)$ y $c_{n+1}=(-1)^n\zeta(n+1)$ para $n>0$

$$D^{-1}_{c_1}= :\frac{c_{.}}{1-c_{.}D_{c_1}}: = c_1+\sum_{n=1}^{\infty } c_{n+1}D_{c_1}^n.$$

Como alternativa, el Identidades de Newton extrapolado a una función entera como polinomio de orden infinito utilizando la maniobra de factorización de Weierstrass se puede aplicar para ver las conexiones con el formalismo de potencia y polinomio simétrico elemental:

$$\exp\left (-\beta p_{.}(z)\right )=\frac{\exp\left (-\beta z \right )}{\left (-\beta \right )!}=\exp\left (-\beta(z+\gamma) \right )\prod_{k=1}^{\infty }\left ( 1-\frac{\beta}{k} \right )\exp\left (\frac{\beta}{k} \right )$$

$$=\exp\left [-(z+\gamma)\beta -\sum_{k=2}^{\infty } \frac{\zeta (k)\beta ^k}{k} \right ]=\exp\left [ :ln(1-a\beta ) :\right ]$$ donde $a^1=a_{1}=(z+\gamma)$ y $a^k=a_k=\zeta(k)$ para $k>1$ pero esta es precisamente la forma umbral de la f.g.e. para los polinomios de índice de ciclo (mod signos).

(También hay conexiones con serie zeta racional .)

Actualización (16 de noviembre de 2012) : La serie generadora aparece en la página 58 de " Aspectos de la teoría de Hodge sobre la simetría especular "por L. Katzarkov, M. Kontsevich y T. Pantev (siguiendo las referencias de Lu).