Mostrando la continuidad de parcialmente definidos mapa

Question

Hay un teorema de la Nota en Cofibrations por Arne Strom. Dice

Deje $A$ ser un subespacio cerrado de un espacio topológico $X$. A continuación, $(X,A)$ tiene el HEP si y sólo si existen
(i) un vecindario $U$ $A$ que es deformable en $X$ $A$rel$A$, es decir, hay un $H:U\times I\to X$ s.t. $H(x,0)=x,\ H(x,1)\in A,\ H(a,t)=a$
para todos los $a\in A,x\in X,t\in I.$
(ii) un mapa de $\phi:X\to I$ s.t. $A=\phi^{-1}(0)$ $\phi(x)=1$ todos los $x\notin U$

Para mostrar que $(X,A)$ tiene el HEP, se construye una retracción $X\times I\to A\times I\cup X\times\{0\}$. Es aquel que es dado en la prueba, a saber:

$$r(x,t)=\begin{cases} (x,\ 0), &\text{ if }\phi(x)=1\\ (H(x,2(1-\phi(x))t),\ 0), &\text{ if }1/2\le\phi(x)<1\\ (H(x,t/(2\phi(x))),\ 0), &\text{ if }0<\phi(x)\le1/2,\ t\le2\phi(x)\\ (H(x,1),\ t-2\phi(x)), &\text{ if }0\le\phi(x)\le1/2,\ t\ge2\phi(x) \end{casos}$$

Ahora bien, estas funciones parciales que fácilmente podría ser pegado a una única función continua si los dominios que estaban cerradas, pero no lo son. Así, con el fin de mostrar la continuidad, especialmente en la unión de los dos primeros dominios, que es en $\phi^{-1}\left[\left[\frac12,1\right]\right]$, se toma un elemento $(x,t)$ y muestra que la función es continua en ese punto. Desde $\phi^{-1}[[0,1)]$ es un subconjunto abierto de $U$ y el homotopy $H$ sólo se utiliza para $\phi(x)<1$ en la construcción de $r$, podemos asumir que $U=\phi^{-1}[[0,1)]$ e es abierto.

Vamos a definir el mapa $$s:\{x\X\mid\phi(x)\ge1/2\}\times I\X\times I\\ (x,t)\mapsto(x,2(1-\phi(x))t)$$ La imagen de $s$ es el conjunto $S=\{(x,t)\mid t\le2(1-\phi(x))\le1\}$. Ahora, $r(x,t)$ puede escribir como $(\tilde Hs(x,t),0)$ donde $\tilde H:S\to X$ está definido por $$\tilde H(x,t)=\begin{cases} H(x,t) &\text{ if }x\in U\\ x, &\text{ if }t=0 \end{casos}$$ The map $s$ is continuous, so it would be enough to show continuity of $\tilde H$.
Esta es sólo que no sea trivial para$x\in\partial U.$$x\notin U$$\phi(x)=1$, lo $t=0$. Me tome un abrir vecindario $V$ $x=\tilde H(x,0)$ e intentar encontrar un vecindario $W$ $x$ tal que $H[W\times I\cap S]\subseteq V$. Pero, ¿cómo puedo encontrar esta $W$? Claramente, debe ser un subconjunto de a $V$.

Answer 1

He aquí otro intento para los casos difíciles. Su particular preocupación es mostrar que la función de $r$ se extiende continuamente de $U$ a su límite de $\partial U$, ya que todos los otros casos son evidentes. El problema es que $H$ sólo se define en $U$.

Para definir: $$U' = \phi^{-1}\left(\left[0, \frac{9}{10}\right)\right);$$ $$\phi': X \rightarrow [0,1], \quad x \mapsto \min \left(\frac{10}{9}\phi(x), 1\right);$$ $$H' = H \upharpoonright U' \times [0,1].$$

A continuación, $(A, X, U', H', \phi')$ satisface las hipótesis del resultado requerido, y ahora sabemos que $H'$ se extiende continuamente a $\partial U'$ y de más allá. Así que, como este era el único destacadas problema, se puede realizar el deseado de construcción de $r$ $(A, X)$ continuamente, sin pérdida de generalidad. Ufff!

Answer 2

Yo no soy realmente responder a tu pregunta, pero te doy mi primer impulso:

¿Por qué no definir $r\left(x,t\right)$ en el cerrado$\phi^{-1}[\frac{1}{2},1]\times\mathbb{I}$ por:

$\left(x,t\right)\mapsto(H(x,2\left(1-\phi\left(x\right)t\right),0)$?

Tenemos $H\left(x,0\right)=x$ y, por consiguiente, a continuación, $r\left(x,t\right)=\left(x,0\right)$ si $\phi\left(x\right)=1$.

No veo la necesidad de un apart clausule en relación con el caso $\phi\left(x\right)=1$.

Es esta la solución de (una parte de) su problema? O estoy con vistas a algo?

Answer 3

Me confundí, cuando la lectura de la pregunta, sobre el lugar donde usted se refiere a dominio y donde a la gama. En particular, por el tiempo que se puede decir"$x \not \in U$$\phi(x) = 1$, lo $t = 0$", debe ser el pensamiento de $(x,t)$ como miembro de la gama, pero a principios de usted están hablando acerca de la continuidad en el punto de $(x,t)$ en la unión de los dos primeros dominios. La descripción del conjunto de $S$ $S=\{(x,t)\mid t\le2(1-\phi(x))\le1\}$ puede compartir esta confusión, ya que no identifica el $x$ valores en su proyección, que están restringidas por su definición del dominio de $s$. Así que yo creo que es mejor empezar de nuevo. Podemos comenzar con una descripción informal de la función $r$.

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Estamos habida cuenta de la continua deformación $H$ que se contrae, como $t$ varía, el barrio de $U$ a $A$: en constante $t=0$ es la identidad, en $t=1$ el rango es exactamente el conjunto cerrado $A$. También tenemos un continuo "medida de la distancia" de $A$, $\phi$, que toma el valor de $0$ exactamente en $A$, y está garantizado para tener su valor máximo $1$ fuera de $U$. Podemos, sin pérdida de generalidad tome $U = \phi^{-1}[0,1)$, de hecho.

Una imagen de la gama de $r$ es como un sombrero de copa. Tiene una amplia visera $X \times \{0\}$, y un verticalmente filo de la corona de $A \times [0,1]$. El dominio de $r$ es una caja de sombrero, $X \times [0,1]$. ¿Cuál es la acción de $r$?

Escoge un $x$ en la proyección del dominio (esto corresponde 1-1 con puntos en la tapa de la caja), y mira lo que sucede a $x \times [0,1]$. Si $x$ está fuera de $U$, $r$ es una proyección vertical a $(x, t) \mapsto (x,0)$.

La siguiente sección es la parte exterior de $U$, por lo que $\phi(x)$ es de más de $1/2$. Aquí $r$ no sólo se aplana el espacio en el cuadro de abajo hasta el borde, pero comienza lentamente, tirando de ella hacia el interior. En la base de la caja, $(x,0)$ se mantiene en su lugar: $r:(x,0) \mapsto (H(x,0),0) = (x,0)$; en la parte superior $r(x,1)$ alcance $(H(x, 2-2\phi(x),0)$, un punto en el borde, pero más cerca de la corona. En la siguiente frontera, $\phi = 1/2$ y la parte superior de la caja se asigna a la parte inferior de la corona, un punto en $A \times\{0\}$.

Para el interior de la sección de $U$, $r$ aplana la parte inferior de la caja en el borde como antes, pero cada vez más rápido, lo suficientemente rápido que el $r(x,t)$ ha llegado a la parte inferior de la corona con $t = 2\phi(x)$. Por encima de ese nivel, $r(x,t)$ comienza la escalada de la pared de la corona, en una constante de velocidad de unidad. En el límite de $x$ enfoques $A$, tenemos $\phi(x) \rightarrow 0$, $H(x,1) \rightarrow x$, y la cantidad de $x \times [0,1]$ que se ubica a la base disminuye a cero, mientras que cubrimos más y más de $H(x,1) \times [0,1]$, terminando en el mapa de identidad al $\phi(x) = 0$.

Finalmente, para $x$ dentro $A$ donde $\phi(x)$ permanece $0$, $r(x,t)$ sigue el mapa de identidad.

(Obsérvese que mientras que el eje vertical es la unidad de intervalo con la costumbre de la topología, la topología de $X$ es desconocido así que esta idea de $x$ "se aproxima a" $A$ es sólo heurística. En cambio sabemos que $\phi(x)$ enfoques $0$, en la unidad de intervalo de topología. Tenga en cuenta también que $H(x,1)$ no está garantizado para estar en el límite de $A$$x \not \in A$, por lo que algunas partes de la visera puede ser tirado en el interior de la corona; todavía, $H$ es continuo)

A partir de esta imagen que, al menos, encontrar informal obvio que $r$ es continuo: dado cualquier $(x,t)$ los puntos cercanos se mueven a puntos cerca de su imagen, y los segmentos de la definición de todos se alinean correctamente.

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Formalmente, supongamos $(x', t')$ está en el rango de $r$, e $(x',t') \in V'$ donde $V'$ está abierto en el rango de $r$ y es, sin pérdida de generalidad, de forma $\text{Ran}(r) \cap V \times {(t'-\epsilon, t'+\epsilon)}$ $V$ abierta en $X$ . Tenemos que mostrar que si $r: (x_0,t_0) \mapsto (x',t')$ $(x,t)$ es lo suficientemente cerca de a$(x_0, t_0)$$r(x,t)$$V'$.

Hay un número de casos, pero son todo va a ser casi el mismo, excepto en el límite de $U$ en caso de que de repente pierde la ayuda de $H$. En una relectura de la pregunta, veo que la solución no es todo lo que pidió, pero aquí es un mecánico de la prueba formal de uno de los fácil de los casos.

Supongamos $\frac{1}{2} < \phi(x_0) < 1$. Entonces podemos asumir $V \subset U \times [0,1]$. Tomamos la inversa de la imagen de $V$ bajo $H$, que está abierto por la continuidad de $H$, por lo que debe contener una rectangular barrio de la forma $W \times [0,b)$, conteniendo $(x_0, 2(1-\phi(x_0))t_0)$. Por la continuidad de $\phi$ no es un barrio de $W' \subset W$$x_0$, y algunos $\delta >0$, por lo que si $x \in W'$$|t - t_0| < \delta$$H(x, 2(1-\phi(x))(t)) \in V$.

Por lo tanto $r$ es continua en a $\phi^{-1}((\frac{1}{2},1)) \times [0,1]$. (En la segunda coordinar todo lo que aquí se asignan por $r$$0$, por lo que la continuidad es trivial.)

[Editado para eliminar metedura de pata por la reducción de la demanda. Al menos lo que dice es verdad, si aburrido. Lo más importante es que ahora en otra respuesta, ya que este es demasiado largo. Lo voy a dejar en la esperanza de que el sector informal de la imagen es útil]