Resolver la integral $\int_0^1 x^{\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}}dx$

Question

Me gustaría considerar dos formas de calcular la integral (real) $\int_{0}^{1}x^{\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}}dx$ utilizando el análisis complejo:

(i) Por residuos

(ii) Por la función Beta

Mis cálculos :

(i) En primer lugar, mi intuición es que el valor de la integral debe ser $0$ u otro valor real.

$x^{\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}}$ tiene dos singularidades en 0 y 1. Por lo tanto, $\sqrt[3]{z(1-z)^2}$ está bien definida en $\mathbb{C}\setminus [0,1]$ y $\int_{|z|=\varepsilon}\sqrt[3]{z(1-z)^2}dz \leq 2\pi \varepsilon k \rightarrow 0$ , como $\varepsilon \rightarrow 0$ para alguna constante $k$ .

$\int_{\gamma_\varepsilon}\sqrt[3]{z(1-z)^2}dz\rightarrow 3\int_0^1 x(1-x)^2dx$ , como $\varepsilon \rightarrow 0$ .

Ahora necesitamos encontrar las expansiones de Laurent en las singularidades.

Para $z=0$

$\sqrt[3]{z(1-z)^2} = \sqrt[3]{z^3-2z^2+z}=z\sqrt[3]{1-\frac{2}{z}+\frac{1}{z^2}}$ y la fijación de $w=\frac{2}{z}-\frac{1}{z^2}$ . Por lo tanto, utilizando la fórmula binomial para $(1-w)^{1/3}$ obtenemos

$(1-w)^{1/3}=1+\frac{w}{3}-\frac{w^2}{9}+\frac{5w^3}{3}+\dots$

Si se introduce el valor de $w$ :

$z(1-w)^{1/3}=z(1+\frac{\frac{1}{z}(2-\frac{1}{z})}{3}-\frac{\frac{1}{z^2}(2-\frac{1}{z})^2}{9}+\dots)=z+\frac{2-1/z}{3}-\frac{(2-1/z)^2}{9z}+\dots$

Como resultado, el residuo es $(-\frac{1}{3}-\frac{4}{9})\frac{1}{z}=-\frac{7}{9}\frac{1}{z}$

Para $z=1$

$\sqrt[3]{z(1-z)^2}=\sqrt[3]{(z-1)^2(z-1+1)}=\sqrt[3]{(z-1)^3+(z-1)^2}=(z-1)\sqrt[3]{1-\frac{-1}{z-1}}=(z-1)(1-\frac{1}{3(z-1)}-\frac{1}{9(z-1)^2}+\dots)$

Por lo tanto, el residuo para $z=1$ es $-\frac{1}{9}$

Por la fórmula integral de Cauchy-Riemann, tenemos

$\int_{|z|=\varepsilon}\sqrt[3]{z(1-z)^2}dz=2\pi i(-\frac{8}{9})$ que es de valor complejo.

(ii) Uso de la función Beta $f(m,n)=\int_0^1x^{m-1}(1-x)^{n-1}=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ , para $m-1=1/3$ y $n-1=2/3$ obtenemos:

$\int_0^1 x^{\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}}dx=\frac{\Gamma(4/3)\Gamma(5/3)}{\Gamma(3)}=\frac{\frac{1}{3}\Gamma(\frac{1}{3})\frac{2}{3}\Gamma(\frac{2}{3})}{2!}=\frac{1}{9}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(1-\frac{1}{3})=\frac{1}{9}\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{9}\pi\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}\pi}{27}$

¿Podría alguien ayudarme a entender dónde está el error?

Answer 1

Parece que quieres usar Teorema del residuo de Cauchy (no confundir con el Ecuaciones de Cauchy-Riemann BTW) para evaluar esta integral. Para usar el teorema del residuo, necesitas integrar sobre un contorno cerrado en el plano complejo. Por lo que veo, no tienes uno; sólo estás sumando todos los residuos que puedes encontrar. Este no es un enfoque válido.

Probablemente sea posible encontrar un contorno cerrado en el plano complejo que permita evaluar esta integral. Nótese, sin embargo, que la integral tiene puntos de ramificación en 0 y 1, lo que significa que hay que tener cuidado en lo que cuenta como "contorno cerrado" a efectos del teorema del residuo.