Expresar el valor $z$ abajo en forma polar, y el valor $w$ en la forma $a+bi$ .

Question

He tenido muchos problemas para determinar cómo trabajar con este tipo de problemas y estaría muy agradecido si alguien pudiera proporcionarme una respuesta guiada/explicada para permitirme entender cómo trabajar con ellos.

Dada: Imagen de la pregunta

Expresar el valor $z$ abajo en forma polar, y el valor $w$ en la forma $a+bi$ . Utilice el símbolo de la raíz cuadrada $\sqrt{\ \ }$ cuando sea necesario para dar un valor exacto a su respuesta. Asegúrese de incluir paréntesis cuando sea necesario, por ejemplo, para distinguir $\frac{1}{2k}$ de $\frac{1}{2}k$ . .

Answer 1

Simplemente hazlo. Si $z = a + bi$ que $|z| =\sqrt{a^2 + b^2}$ y

$z = \sqrt{a^2+ b^2}(\frac a{a^2 + b^2} + \frac b{a^2 + b^2} i)$ . Dejemos que $r= \sqrt{a^2 + b^2} = |z|$ .

Ahora $\frac a{a^2 + b^2}=x$ y $\frac b{a^2 + b^2}=y$ son dos números tales que $x^2 + y^2 = 1$ . Que significa que debe haber algún ángulo $\theta$ para que $x = \cos \theta$ y $y = \sin \theta$ . ¿Qué ángulo puede ser?

Bueno, $\tan \theta = \frac {\sin \theta}{\cos \theta} = \frac yx = \frac {\frac b{a^2 + b^2}}{\frac a{a^2 + b^2}}= \frac ba$ . Así que $\theta = \arctan \frac ba$ .

así que $z =a+bi = \sqrt{a^2 + b^2}(\cos \arctan \frac ba + \sin \arctan \frac ba i)$ .

Ahora por definición $e^{\psi i} = \cos \psi + i\sin \psi$ así que

$z = \sqrt{a^2 + b^2}e^{\arctan \frac ba i}$ .

Así que para $z = a+bi; z\ne 0$ podemos siempre convertirlo en $z= re^{\theta i}$ forma dejando que $r = |z| =\sqrt{a^2 + b^2}$ y dejar que $\theta = \arctan \frac ba$ . Siempre.

....

Y convertir $z= re^{\theta i}$ a $a + bi$ forma es simplemente notar:

$z = re^{\theta i} = r(\cos \theta + i \sin\theta) =r\cos\theta + r\sin \theta i$ .

Así que $a = r\cos \theta$ y $b = r\sin \theta$ .

Eso es todo.

así que hazlo.

Si $z = \frac 52 - \frac {5\sqrt 3}2i$ entonces $r = \sqrt {(\frac 52)^2 + (\frac {5\sqrt 3}2)^2}=???$ y $\theta = \arctan \frac {\frac {5\sqrt 3}2}{\frac 52}=\arctan \frac {5\sqrt 3}{5}=\arctan \sqrt 3 = ????$ y $z = re^{\theta i}$ . Eso es todo.

Y si $w = 2e^{\frac {i5\pi}4}$ entonces $w = 2\cos (\frac {5\pi}4) +2\sin(\frac {5\pi}4)i$ .

Eso es todo...

..... pero.... espera un minuto. El problema que has publicado los tiene a ambos iguales $0$ ????? Eso hace que totalmente cero sentido.