determinar si $f(x, y) = \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$ es diferenciable en $(0, 0)$ .

Question

Soy nuevo en el cálculo multivariable y mi libro de texto no da soluciones, así que me pregunto cómo se hace para demostrar algo así. Sé que una función es diferencial en un punto $a$ si es continuo en $a$ y las derivadas parciales de $f$ existen cerca de $a$ pero nunca he visto un ejemplo. Esta es la pregunta:

Supongamos que $f(0, 0) = 0$ y determinar si $f(x, y) = \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$ es diferenciable en $(0, 0)$ .

Answer 1

Calcula la derivada parcial:

$${f_x'} (0,0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f(x,0) - f(0,0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{0 - 0} \over x} = 0$$

$${f_y'} (0,0)=\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {{f(0,y) - f(0,0)} \over y} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{0 - 0} \over y} = 0$$

Calcula el límite:

$$\mathop {\lim }\limits_{ x \to 0 \atop y \to 0} \frac {f(x,y) - {f_x'} (0,0)x - {f_y'} (0,0)y} {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } $$

$$= \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0 \atop y \to 0} \frac {xy^3} {(x^2+y^4)\sqrt {{x^2} + {y^2}} }$$

$$\xrightarrow{x=ky^2} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {\frac{k{y^5}} {({k^2} + 1){y^4}\sqrt {{k^2}{y^4} + {y^2}} }}$$

$$=\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {\frac{k} {({k^2} + 1)\sqrt {k^2 y^2 + 1} }}=\frac{k}{k^2+1}$$

Si $f(x,y) - {f_x'} (0,0)x - {f_y'(0,0)x} = o(\sqrt {{x^2} + {y^2}}) $ lo que equivale a $ \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0 \atop y \to 0} \cfrac {xy^3} {(x^2+y^4)\sqrt {{x^2} + {y^2}}}=0$ podemos decir $f(x,y)$ es diferenciable en $(0,0)$ pero en este caso, el límite está relacionado con $k$ para que el límite no exista, es decir $f(x,y)$ es no diferencial en $(0,0)$ .

Answer 2

Comprueba las derivadas parciales, si son continuas en $(0,0)$ . Si lo son entonces, $f$ es diferenciable en $(0,0)$ .

Answer 3

Utilizando la siguiente afirmación:

Las derivadas parciales existen y son continuas en $(0,0)$ entonces es diferenciable en $(0,0)$ .