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Cómo encontrar esta máxima de la $\sin^2{\theta_{1}}+\sin^2{\theta_{2}}+\cdots+\sin^2{\theta_{n}}$

Pregunta:

deje $\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{n}\ge 0$,y tal $$\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}+\cdots+\theta_{n}=\pi$$

encontrar el $P$ el máximo de valor de $P(n)$ $$P=\sin^2{\theta_{1}}+\sin^2{\theta_{2}}+\cdots+\sin^2{\theta_{n}}$$

Encontrar el cerrado $P(n)$

He encontrado este

al $n=2$ entonces $$P=\sin^2{\theta_{1}}+\sin^2{\theta_{2}}=1-\dfrac{1}{2}(\cos{2\theta_{1}}+\cos{2\theta_{2}})=1-\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}=1+\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}\le 2$$ al $\theta_{1}=\theta_{2}=\dfrac{\pi}{2}$. así $$P(2)=2$$

y para general $n$,tal vez tiene el uso de otros métodos,Gracias

Supongo que podemos probar $$P(3)=P(4)=P(5)=\cdots=P(n)?$$

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clark Puntos 5754

Si se restringen en el interior de $ \tilde {\theta} = \{ ( \theta _1 , \dots , \theta _n)\mid \theta _1 + \dots + \theta _n=\pi\}$ el punto crítico es $ \theta _1= \dots =\theta _n$ donde te $P= n \sin^2 ( \pi/n)$.

Para el caso de $n=2$ ha encontrado el máximo. Para $n=3$, se compara el valor de $P$ en el punto crítico y el máximo en el límite. El máximo en el límite es el mismo que el caso anterior, es decir, para $n=2$. Así que usted compare $3 \sin^2 \pi /3=9/4 >2$ y llegar a la conclusión de que el máximo de $n=3$$ 9/4$.

Ahora se puede proceder inductivamente comparando el valor crítico que usted obtiene de multiplicadores de Lagrange con el max en el límite, el cual es conocido.

3voto

CodingBytes Puntos 102

Se nos dice que para encontrar el máximo de $\sigma_n$ de $$f(\theta):=\sum_{k=1}^n\sin^2\theta_k$$ en el $(n-1)$-dimensiones simplex $$S:=\{\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_n)\ |\ \theta_k\geq0, \quad \theta_1+\ldots+\theta_n=\pi\}\ .$$ Reclamo: Uno tiene (trivialmente) $\sigma_2=2$, y $\sigma_n={9\over 4}$ $(n\geq3)$. El último valor es realizado por $\theta_k={\pi\over3}$$1\leq k\leq 3$$\theta_k=0$$k>3$.

Prueba. Ya que la función $t\mapsto\sin^2 t$ tiene puntos de inflexión en $t={\pi\over4}$ $t={3\pi\over4}$ tenemos que prever un gran número de condicionalmente puntos estacionarios de $f$, la mayoría de ellos en $\partial S$. Con el fin de evitar estas complicaciones sólo nos fijamos en dos variables en un tiempo y hacer uso de los inherentes a la simetría del problema.

De $$h(\theta_1,\theta_2):=\sin^2\theta_1+\sin^2\theta_2=1-\cos(\theta_1+\theta_2)\cos(\theta_2-\theta_1)$$ se pueden extraer las siguientes conclusiones:

(I) Cuando $\theta\in S$$0<\theta_1\leq\theta_2<{\pi\over4}$$\cos(\theta_1+\theta_2)>0$. Por lo tanto, el valor de $h$ puede ser aumentado mediante la sustitución de $(\theta_1,\theta_2)$ por $\theta_1':=0$, $\theta_2':=\theta_1+\theta_2$, y el punto correspondiente a $\theta':=(\theta_1',\theta_2',\theta_3,\ldots,\theta_n)$ es todavía factible.

(II) Cuando $\theta\in S$${\pi\over4}\leq\theta_1<\theta_2$$\cos(\theta_1+\theta_2)<0$. Por lo tanto, el valor de $h$ puede ser aumentado mediante la sustitución de $(\theta_1,\theta_2)$$\theta_1':=\theta_2':={\theta_1+\theta_2\over2}$, y el correspondiente punto de $\theta':=(\theta_1',\theta_2',\theta_3,\ldots,\theta_n)$ es todavía factible.

Consideremos ahora un punto de $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_n)\in{\rm argmax}_S(f)$. A continuación, el hecho de que (I) implica que uno ha $0<\theta_k<{\pi\over 4}$ (a) no $k$ o (b) exactamente una $k$, porque de lo contrario no sería un punto de $\theta'\in S$$f(\theta')>f(\theta)$. En una manera similar, el hecho de que (II) implica que todos los $\theta_k\geq{\pi\over4}$ tienen el mismo valor. Vamos a no ser $r\in\{2,3,4\}$ de ellos.

Caso (a): Cuando $r=2$ tenemos $\theta_1=\theta_2={\pi\over2}$, lo que conduce a $f(\theta)=2<{9\over4}$. Al $r=3$ llegamos en el caso descrito en la reclamación. Al $r=4$ llegamos a $f(\theta)=2$ nuevo.

Caso (b): Vamos a $\theta_1:=\alpha\in\ \bigl]0,{\pi\over4}\bigr[\ $. A continuación, tenemos que estudiar las funciones auxiliares $$g_2(\alpha):=\sin^2\alpha+2\sin^2{\pi-\alpha\over2},\qquad g_3(\alpha):=\sin^2\alpha+3\sin^2{\pi-\alpha\over3}$$ en el intervalo de $0<\alpha<{\pi\over4}$. Resulta que $g_2$ es monótonamente creciente y $g_3$ monótonamente decreciente en ese intervalo de tiempo (como se esperaba). Esto implica que el caso (b) no contiene puntos de a $\theta\in{\rm argmax}_S(f)$.

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Claudio Puntos 1371

$n\sin^2(\pi/n)$ va a 0 a medida que n tiende a infinito. Está claro que sería mejor tomar dos $\pi/2$'s y el resto de los valores del 0 al obtener al menos 2 en la suma.

Es tentador pensar que este valor de 2 es mejor, pero al menos para n=3, $n\sin^2(\pi/n)$ da una respuesta mejor a saber 2.25.

Creo que el punto importante es mirar a la función de $f(x) = \sin^2(x)/x$. Tenga en cuenta que si f(x) es el mayor en algunos $x = x_0$, $\sin^2(x_0)$ es mayor que la de cualquier suma de la forma $\sum \sin^2(x_i)$ cuando la $x_i$s suma a $x_0$.

Con la ayuda de Wolfram Alpha, esto parece ser maximizada alrededor de 1.16556, llamamos a esto. $\pi/a$ es de alrededor de 2.7, lo que indica que 2 y 3 son muy interesantes los casos. Si la suma total fue un múltiplo de a, entonces estaríamos casi hecho. Por desgracia, no lo es. Por un poco de ensayo y error, podemos ver que ($\pi/3$, $\pi/3$, $\pi/3$) funciona mejor que otras alternativas como (a, a, $\pi-a$) etc. Así para n=3 tenemos que ir con ($\pi/3$, $\pi/3$, $\pi/3$). Como $\sin^2(x)/x$ es creciente en el intervalo $(0, \pi/3)$ ahora podemos empezar a utilizar la lógica que motiva la búsqueda de esta función. Para n>3, en lugar de buscar más subdivisiones, es mejor dejar de tomar las primeras tres ángulos $\pi/3$ y el resto a 0.

EDITAR:

El tipo de cosa que usted tenía en mente realmente puede ser probado para n = 6 en adelante, es decir, P(n) = P(n-1) por $n \ge 6$ Aquí es por qué: para $n \ge 6$, debe haber dos thetas cuya suma es menor que $\pi/3$ y por lo tanto menos de una. Para cualquier par de tales thetas digamos x e y, $\sin^2(x+y) = (x+y)\frac{\sin^2(x+y)}{x+y} = x\frac{\sin^2(x+y)}{x+y} + y\frac{\sin^2(x+y)}{x+y} \ge x\frac{\sin^2(x)}{x} + y\frac{\sin^2(y)}{y} = \sin^2(x) + \sin^2(y)$.

($\frac{\sin^2(x)}{x}$ es creciente en el intervalo [0,a])

Por lo que podemos sustituir (x, y) por (x+y, 0) y vaya a la n-1 caso.

Pero el hecho de que P(5) = P(4) = P(3), debe ser visto en una base de caso por caso.

EDIT 2: la verdad es que puede resultar aún que.

Si n es al menos de 4, hay dos ángulos con la suma de no más de pi/2. Llamar a estos x y y. Se puede sustituir (x,y ) por (x+y, 0). Razón:

$\sin^2(x+y) - \sin^2(x) - \sin^2(y) = 2 \sin(x)\sin(y)\cos(x+y)$, lo cual no es negativo para x, y en [0, pi/2]

-1voto

user121049 Puntos 646

El uso de un multiplicador de Lagrange para solucionar la restricción. Luego, es que todos los $\theta_i$ son los mismos y el resto es fácil.

-1voto

johannesvalks Puntos 4816

Dado

$$ \Theta = \sum_{k=1}^n \theta_k, $$

y $\Theta = \pi$, y

$$ P = \sum_{k=1}^n \sin^2(\theta_k). $$

Tenga en cuenta que

$$ d\Theta = 0$, $$

así

$$ d\theta_n = - \sum_{k=1}^{n-1} d\theta_k $$

y

$$ dP = \sum_{k=1}^n \sin(2 \theta_k ) d\theta_k = \sum_{k=1}^{n-1} \Big( \sin(2\theta_k) - \sin(2\theta_n) \Big) d\theta_k, $$

así

$$ \theta_k = \theta_n + m \pi $$

Condición de $\theta_k \ge 0$ $\Theta = \ pi$ implica

$$ \theta_k = \theta_n, $$

así

$$ \theta_k = \frac{\pi}{n}, $$

de dónde

$$ P(n) = n \sin^2\Big( \frac{\pi}{n} \Big). $$

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