Cómo encontrar esta máxima de la $\sin^2{\theta_{1}}+\sin^2{\theta_{2}}+\cdots+\sin^2{\theta_{n}}$

Question

Pregunta:

deje $\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{n}\ge 0$,y tal $$\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}+\cdots+\theta_{n}=\pi$$

encontrar el $P$ el máximo de valor de $P(n)$ $$P=\sin^2{\theta_{1}}+\sin^2{\theta_{2}}+\cdots+\sin^2{\theta_{n}}$$

Encontrar el cerrado $P(n)$

He encontrado este

al $n=2$ entonces $$P=\sin^2{\theta_{1}}+\sin^2{\theta_{2}}=1-\dfrac{1}{2}(\cos{2\theta_{1}}+\cos{2\theta_{2}})=1-\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}=1+\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}\le 2$$ al $\theta_{1}=\theta_{2}=\dfrac{\pi}{2}$. así $$P(2)=2$$

y para general $n$,tal vez tiene el uso de otros métodos,Gracias

Supongo que podemos probar $$P(3)=P(4)=P(5)=\cdots=P(n)?$$

Answer 1

Si se restringen en el interior de $\tilde {\theta} = \{ ( \theta _1 , \dots , \theta _n)\mid \theta _1 + \dots + \theta _n=\pi\}$ el punto crítico es $\theta _1= \dots =\theta _n$ donde te $P= n \sin^2 ( \pi/n)$.

Para el caso de $n=2$ ha encontrado el máximo. Para $n=3$, se compara el valor de $P$ en el punto crítico y el máximo en el límite. El máximo en el límite es el mismo que el caso anterior, es decir, para $n=2$. Así que usted compare $3 \sin^2 \pi /3=9/4 >2$ y llegar a la conclusión de que el máximo de $n=3$$9/4$.

Ahora se puede proceder inductivamente comparando el valor crítico que usted obtiene de multiplicadores de Lagrange con el max en el límite, el cual es conocido.

Answer 2

Se nos dice que para encontrar el máximo de $\sigma_n$ de $$f(\theta):=\sum_{k=1}^n\sin^2\theta_k$$ en el $(n-1)$-dimensiones simplex $$S:=\{\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_n)\ |\ \theta_k\geq0, \quad \theta_1+\ldots+\theta_n=\pi\}\ .$$ Reclamo: Uno tiene (trivialmente) $\sigma_2=2$, y $\sigma_n={9\over 4}$ $(n\geq3)$. El último valor es realizado por $\theta_k={\pi\over3}$$1\leq k\leq 3$$\theta_k=0$$k>3$.

Prueba. Ya que la función $t\mapsto\sin^2 t$ tiene puntos de inflexión en $t={\pi\over4}$ $t={3\pi\over4}$ tenemos que prever un gran número de condicionalmente puntos estacionarios de $f$, la mayoría de ellos en $\partial S$. Con el fin de evitar estas complicaciones sólo nos fijamos en dos variables en un tiempo y hacer uso de los inherentes a la simetría del problema.

De $$h(\theta_1,\theta_2):=\sin^2\theta_1+\sin^2\theta_2=1-\cos(\theta_1+\theta_2)\cos(\theta_2-\theta_1)$$ se pueden extraer las siguientes conclusiones:

(I) Cuando $\theta\in S$$0<\theta_1\leq\theta_2<{\pi\over4}$$\cos(\theta_1+\theta_2)>0$. Por lo tanto, el valor de $h$ puede ser aumentado mediante la sustitución de $(\theta_1,\theta_2)$ por $\theta_1':=0$, $\theta_2':=\theta_1+\theta_2$, y el punto correspondiente a $\theta':=(\theta_1',\theta_2',\theta_3,\ldots,\theta_n)$ es todavía factible.

(II) Cuando $\theta\in S$${\pi\over4}\leq\theta_1<\theta_2$$\cos(\theta_1+\theta_2)<0$. Por lo tanto, el valor de $h$ puede ser aumentado mediante la sustitución de $(\theta_1,\theta_2)$$\theta_1':=\theta_2':={\theta_1+\theta_2\over2}$, y el correspondiente punto de $\theta':=(\theta_1',\theta_2',\theta_3,\ldots,\theta_n)$ es todavía factible.

Consideremos ahora un punto de $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_n)\in{\rm argmax}_S(f)$. A continuación, el hecho de que (I) implica que uno ha $0<\theta_k<{\pi\over 4}$ (a) no $k$ o (b) exactamente una $k$, porque de lo contrario no sería un punto de $\theta'\in S$$f(\theta')>f(\theta)$. En una manera similar, el hecho de que (II) implica que todos los $\theta_k\geq{\pi\over4}$ tienen el mismo valor. Vamos a no ser $r\in\{2,3,4\}$ de ellos.

Caso (a): Cuando $r=2$ tenemos $\theta_1=\theta_2={\pi\over2}$, lo que conduce a $f(\theta)=2<{9\over4}$. Al $r=3$ llegamos en el caso descrito en la reclamación. Al $r=4$ llegamos a $f(\theta)=2$ nuevo.

Caso (b): Vamos a $\theta_1:=\alpha\in\ \bigl]0,{\pi\over4}\bigr[\ $. A continuación, tenemos que estudiar las funciones auxiliares $$g_2(\alpha):=\sin^2\alpha+2\sin^2{\pi-\alpha\over2},\qquad g_3(\alpha):=\sin^2\alpha+3\sin^2{\pi-\alpha\over3}$$ en el intervalo de $0<\alpha<{\pi\over4}$. Resulta que $g_2$ es monótonamente creciente y $g_3$ monótonamente decreciente en ese intervalo de tiempo (como se esperaba). Esto implica que el caso (b) no contiene puntos de a $\theta\in{\rm argmax}_S(f)$.

Answer 3

$n\sin^2(\pi/n)$ va a 0 a medida que n tiende a infinito. Está claro que sería mejor tomar dos $\pi/2$'s y el resto de los valores del 0 al obtener al menos 2 en la suma.

Es tentador pensar que este valor de 2 es mejor, pero al menos para n=3, $n\sin^2(\pi/n)$ da una respuesta mejor a saber 2.25.

Creo que el punto importante es mirar a la función de $f(x) = \sin^2(x)/x$. Tenga en cuenta que si f(x) es el mayor en algunos $x = x_0$, $\sin^2(x_0)$ es mayor que la de cualquier suma de la forma $\sum \sin^2(x_i)$ cuando la $x_i$s suma a $x_0$.

Con la ayuda de Wolfram Alpha, esto parece ser maximizada alrededor de 1.16556, llamamos a esto. $\pi/a$ es de alrededor de 2.7, lo que indica que 2 y 3 son muy interesantes los casos. Si la suma total fue un múltiplo de a, entonces estaríamos casi hecho. Por desgracia, no lo es. Por un poco de ensayo y error, podemos ver que ($\pi/3$, $\pi/3$, $\pi/3$) funciona mejor que otras alternativas como (a, a, $\pi-a$) etc. Así para n=3 tenemos que ir con ($\pi/3$, $\pi/3$, $\pi/3$). Como $\sin^2(x)/x$ es creciente en el intervalo $(0, \pi/3)$ ahora podemos empezar a utilizar la lógica que motiva la búsqueda de esta función. Para n>3, en lugar de buscar más subdivisiones, es mejor dejar de tomar las primeras tres ángulos $\pi/3$ y el resto a 0.

EDITAR:

El tipo de cosa que usted tenía en mente realmente puede ser probado para n = 6 en adelante, es decir, P(n) = P(n-1) por $n \ge 6$ Aquí es por qué: para $n \ge 6$, debe haber dos thetas cuya suma es menor que $\pi/3$ y por lo tanto menos de una. Para cualquier par de tales thetas digamos x e y, $\sin^2(x+y) = (x+y)\frac{\sin^2(x+y)}{x+y} = x\frac{\sin^2(x+y)}{x+y} + y\frac{\sin^2(x+y)}{x+y} \ge x\frac{\sin^2(x)}{x} + y\frac{\sin^2(y)}{y} = \sin^2(x) + \sin^2(y)$.

($\frac{\sin^2(x)}{x}$ es creciente en el intervalo [0,a])

Por lo que podemos sustituir (x, y) por (x+y, 0) y vaya a la n-1 caso.

Pero el hecho de que P(5) = P(4) = P(3), debe ser visto en una base de caso por caso.

EDIT 2: la verdad es que puede resultar aún que.

Si n es al menos de 4, hay dos ángulos con la suma de no más de pi/2. Llamar a estos x y y. Se puede sustituir (x,y ) por (x+y, 0). Razón:

$\sin^2(x+y) - \sin^2(x) - \sin^2(y) = 2 \sin(x)\sin(y)\cos(x+y)$, lo cual no es negativo para x, y en [0, pi/2]

Answer 4

El uso de un multiplicador de Lagrange para solucionar la restricción. Luego, es que todos los $\theta_i$ son los mismos y el resto es fácil.

Answer 5

Dado

$$\Theta = \sum_{k=1}^n \theta_k,$$

y $\Theta = \pi$, y

$$P = \sum_{k=1}^n \sin^2(\theta_k).$$

Tenga en cuenta que

$$d\Theta = 0$,$$

así

$$d\theta_n = - \sum_{k=1}^{n-1} d\theta_k$$

y

$$dP = \sum_{k=1}^n \sin(2 \theta_k ) d\theta_k = \sum_{k=1}^{n-1} \Big( \sin(2\theta_k) - \sin(2\theta_n) \Big) d\theta_k,$$

así

$$\theta_k = \theta_n + m \pi$$

Condición de $\theta_k \ge 0$ $\Theta = \ pi$ implica

$$\theta_k = \theta_n,$$

así

$$\theta_k = \frac{\pi}{n},$$

de dónde

$$P(n) = n \sin^2\Big( \frac{\pi}{n} \Big).$$