$n\sin^2(\pi/n)$ va a 0 a medida que n tiende a infinito. Está claro que sería mejor tomar dos $\pi/2$'s y el resto de los valores del 0 al obtener al menos 2 en la suma.
Es tentador pensar que este valor de 2 es mejor, pero al menos para n=3, $n\sin^2(\pi/n)$ da una respuesta mejor a saber 2.25.
Creo que el punto importante es mirar a la función de $f(x) = \sin^2(x)/x$. Tenga en cuenta que si f(x) es el mayor en algunos $x = x_0$, $\sin^2(x_0)$ es mayor que la de cualquier suma de la forma $\sum \sin^2(x_i)$ cuando la $x_i$s suma a $x_0$.
Con la ayuda de Wolfram Alpha, esto parece ser maximizada alrededor de 1.16556, llamamos a esto. $\pi/a$ es de alrededor de 2.7, lo que indica que 2 y 3 son muy interesantes los casos. Si la suma total fue un múltiplo de a, entonces estaríamos casi hecho. Por desgracia, no lo es. Por un poco de ensayo y error, podemos ver que ($\pi/3$, $\pi/3$, $\pi/3$) funciona mejor que otras alternativas como (a, a, $\pi-a$) etc. Así para n=3 tenemos que ir con ($\pi/3$, $\pi/3$, $\pi/3$). Como $\sin^2(x)/x$ es creciente en el intervalo $(0, \pi/3)$ ahora podemos empezar a utilizar la lógica que motiva la búsqueda de esta función. Para n>3, en lugar de buscar más subdivisiones, es mejor dejar de tomar las primeras tres ángulos $\pi/3$ y el resto a 0.
EDITAR:
El tipo de cosa que usted tenía en mente realmente puede ser probado para n = 6 en adelante, es decir, P(n) = P(n-1) por $n \ge 6$ Aquí es por qué: para $n \ge 6$, debe haber dos thetas cuya suma es menor que $\pi/3$ y por lo tanto menos de una. Para cualquier par de tales thetas digamos x e y, $\sin^2(x+y) = (x+y)\frac{\sin^2(x+y)}{x+y} = x\frac{\sin^2(x+y)}{x+y} + y\frac{\sin^2(x+y)}{x+y} \ge x\frac{\sin^2(x)}{x} + y\frac{\sin^2(y)}{y} = \sin^2(x) + \sin^2(y)$.
($\frac{\sin^2(x)}{x}$ es creciente en el intervalo [0,a])
Por lo que podemos sustituir (x, y) por (x+y, 0) y vaya a la n-1 caso.
Pero el hecho de que P(5) = P(4) = P(3), debe ser visto en una base de caso por caso.
EDIT 2: la verdad es que puede resultar aún que.
Si n es al menos de 4, hay dos ángulos con la suma de no más de pi/2. Llamar a estos x y y. Se puede sustituir (x,y ) por (x+y, 0). Razón:
$\sin^2(x+y) - \sin^2(x) - \sin^2(y) = 2 \sin(x)\sin(y)\cos(x+y)$, lo cual no es negativo para x, y en [0, pi/2]