Digamos que tenemos una ecuación diferencial como $ \frac{dy}{dx} =xy$
Me enseñaron que se resolvería reescribiendo la ecuación como $\frac{dy}{y} = xdx$
Luego se integran ambos lados $ \int\frac{dy}{y}=\int xdx$
Sin embargo, lo que no tiene mucho sentido es por qué hay que asegurarse de integrar $y$ con su correspondiente infinitesimal: $dy$ y $x$ con su infinitesimal: $dx$ .
Y lo que es más importante, ¿por qué hay que multiplicar una expresión por su infinitesimal para integrarla? ¿Por qué no se puede utilizar cualquier infinitesimal? ¿Qué hace que $dy$ y $dx$ tan especial en este caso?
Entiendo que no es técnicamente correcto separar $dy$ y $dx$ tan fácilmente, pero me preguntaba si podemos evitarlo definiendo
$dy= \lim_{h \to\ 0} f(x+h)-f(x)$ y $dx=lim_{h \to\ 0} h$
¿o no es esto lo que dio a entender Leibniz?
Además, como $y$ es esencialmente una función de $x$ entonces, ¿existe alguna relación de este tipo en la que $dy$ es una función de $dx$ y es por esto que tienes que multiplicar $y$ por $dy$ y $x$ por $dx$ integrar para que ambos lados de la ecuación sean iguales?
Si la respuesta tiene que ver con el análisis no estándar, te agradecería mucho que explicaras un poco los fundamentos del campo en tu respuesta para poder entenderlo. ¡Muchas gracias!
