¿Es el mapa $T:V\rightarrow V$ definido por $T(p(x))=p'(x)$ ¿inyectiva, sobreyectiva, o ambas?

Question

Aquí $V=P(R)$

Dejemos que $p(x)=ax^2+bx+c$ Así que $p'(x)=2ax+b$ .

Creo que no es inyectiva porque para dejar $p'(x)=0$ , $c$ puede ser cualquier número.

También creo que es surjetivo porque para cualquier $q\in p'(x)$ se puede expresar mediante $a$ y $b$ en $p(x).$

¿Podría alguien corregir mi pensamiento?

Answer 1

Debe tener una definición coherente de $V$ para proceder correctamente.

Por el contexto, asumiré que $V=\Bbb R_2[x]$ . Es decir, la colección de polinomios de grado $\leq 2$ .

Su mapa $T:V\to V$ se define por $T(p)=p^\prime$ . Hay muchas formas de determinar la subjetividad de $T$ . Tal vez lo más rápido sea observar que $\deg(T(p))<2$ por cada $p\in V$ . Por lo tanto, $T$ no puede ser sobreyectiva.

Se puede hacer un análisis más profundo representando $T$ como una matriz. Tenga en cuenta que $\beta=\{1,x,x^2\}$ es una base para $V$ y que $$\begin{array}{rcccrcrcrcrcrcrc} T(1) & = & 0 & = & \color{red}{0}\cdot 1 & + & \color{red}{0}\cdot x & + & \color{red}{0}\cdot x^2\\ T(x) & = & 1 & = & \color{blue}{1}\cdot 1 & + & \color{blue}{0}\cdot x & + & \color{blue}{0}\cdot x^2\\ T(x^2) & = & 2\,x & = & \color{green}{0}\cdot 1 & + & \color{green}{2}\cdot x & + & \color{green}{0}\cdot x^2 \end{array}$$ Esto implica que la matriz de $T$ en relación con $\beta$ es $$[T]_\beta= \begin{bmatrix} \color{red}{0} & \color{blue}{1} & \color{green}{0} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{0} & \color{green}{2} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{0} & \color{green}{0} \end{bmatrix}$$ Esta matriz es de rango dos. El rango de $[T]_\beta$ es la dimensión de la imagen de $T$ . Desde $\dim V=3$ Esto demuestra que $T$ no es sobreyectiva.

Debo señalar que si $V=\Bbb R[x]$ es decir, si $V$ es la colección de todos los polinomios de grado arbitrario, entonces nuestro mapa $T$ es surjective. En efecto, si $P$ es una antiderivada de $p$ entonces $T(P)=p$ .