Esto se desprende del libro titulado Numerical analysis de Quarteroni, et al.
Demostrar que el polinomio característico $l_i\in\mathbb{P}_n$ definidos en (8.3) forman una base para $\mathbb{P}_n$
Información de fondo:
Teorema 8.1 - Dado $n+1$ puntos distintos $x_0,\ldots,x_n$ y $n+1$ valores correspondientes $y_0,\ldots,y_n$ existe un único polinomio $\prod_n\in\mathbb{P}_n$ tal que $\prod_n(x_i) = y_i$ para $i=0,\ldots,n$
prueba del teorema 8.1: Para demostrar la existencia, vamos a utilizar un enfoque constructivo, proporcionando una expresión para $\prod_n$ . Denotando por $\{l_i\}_{i=0}^{n}$ una base para $\mathbb{P}_n$ entonces $\prod_n$ admite una representación sobre tal base de la forma $\prod_n(x) = \sum_{i=0}^{n}b_i l_i(x)$ con la propiedad de que $$\prod_n(x_i) = \sum_{i=0}^{n}b_i l_i(x) = y_i, i = 0,\ldots,n$$ Si definimos (esto es (8.3)) $$l_i\in\mathbb{P}_n: l_i(x) = \prod_{j=0,j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i - x_j} i=0,\ldots,n$$ entonces $l_i(x_j) = \delta_{ij}$ y obtenemos inmediatamente de (8.2) que $b_i = y_i$ . Los polinomios $\{l_i, i = 0,\ldots, n \}$ forman una base para $\mathbb{P}_n$ . La prueba continúa mostrando que como consecuencia obtenemos Lagrange yada yada...
De todos modos, aquí está mi intento de prueba para el problema anterior:
Dado $n+1$ puntos distintos $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ podemos definir los polinomios característicos de Lagrange $$l_i(x) = \prod_{j=0,j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i - x_j}$$ Supongamos que tenemos un polinomio $\mathbb{P}_n$ de grado como máximo $n$ definido por $$p(x) = \alpha_o + \alpha_1 x + \ldots + \alpha_n x^n$$ Ahora tengo que demostrar que $l_i(x)$ forma una base para este polinomio pero no estoy seguro de cómo demostrarlo, cualquier sugerencia es muy apreciada.
