Dejemos que $x_t:\Omega \to \mathbb{R}$ una variable aleatoria y $\{x_t\}:\Omega \to \mathbb{R}^\mathbb{Z}$ un proceso estocástico. ¿Puede alguien explicarme la noción de $\sigma$ -¿Álgebra generada por un proceso estocástico? Entiendo que de la $\sigma$ -generada por la variable aleatoria $x_t$ pero me cuesta extenderlo a los procesos estocásticos. Un ejemplo (tal vez con un $\Omega$ ) también ayudaría.
Respuesta
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Dejemos que $(X_t)_{t\in\mathbb{Z}}$ sea un proceso estocástico (de valor real) en un espacio medible $(\Omega,\mathcal{F})$ es decir, para todos los $t\in \mathbb{Z}$ $X_t:\Omega\to\mathbb{R}$ es una variable aleatoria.
El álgebra sigma generada por el proceso estocástico $(X_t)_{t\in \mathbb{Z}}$ es el álgebra sigma más pequeña tal que $X_t$ es medible para todos los $t\in T$ es decir, $$\sigma\left((X_t)_{t\in \mathbb{Z}}\right)=\sigma\left(\bigcup_{t\in\mathbb{Z}}X_t^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))\right)=\left\{A\in\mathcal{F}\mid \exists t\in\mathbb{Z} \;\exists B ∈ \mathcal{B}(\mathbb{R}):\; A=X^{-1}_t(B)\right\},$$ donde $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ denotan los conjuntos de Borel sobre la recta real.
