Es $Th(\mathbb{Z}[x])$ ¿incontablemente categórico?

Question

Considere $T=Th(\mathbb{Z}[x])$ en la lengua $L = \{0,1,+,\times,deg(), \circ\}$ donde $0,1,+$ y $\times$ tienen sus interpretaciones habituales, $deg()$ es un símbolo de función unario que da el grado de un polinomio y $\circ$ es una función binaria de símbolos donde (si $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios) $$p(x)\circ q(x) = p(q(x))$$ y si $p(x)$ es una "constante", entonces $$p(x) \circ q(x) = p(x)$$

Claramente, $T$ no es contablemente categórica ya que tiene $\aleph_0$ muchos $1-$ tipos definibles sin parámetros. Sin embargo, no puedo averiguar si la teoría es incontablemente categórica.

Gracias.

Answer 1

Dado que contiene la aritmética de los números enteros se puede elegir alguna familia infinita de primos y decir que un elemento de grado $0$ es divisible por esos primos y no por otros. Esto da un número incontable de tipos sobre un conjunto contable, por lo que la teoría no es $\aleph_0$ estable y, por tanto, no incontablemente categórica.

Answer 2

Se trata de una respuesta al comentario de René Schipperus en el que se preguntaba si se puede definir una ordenación de los enteros en esta estructura. Resulta que sí podemos.

Decimos que $P(x)$ es decir, "x es positivo", se mantiene en un elemento de nuestra estructura si $(\exists y)(deg(y)=x)$ .

Tenga en cuenta que $x$ es un "entero" si y sólo si $deg(x) = 0$ .

Ahora, decimos que $x < y \iff (deg(x)=deg(y)=0)\wedge (\exists z)[(P(z)\wedge (z\neq 0) \wedge (x+z =y)]$