¿Cuál es la sección de captura de un agujero negro de la región para la ultra-relativista partículas?

Question

¿Cuál es la sección de captura de un agujero negro de la región para la ultra-relativista partículas? He leído que es

$$\sigma ~=~ \frac{27}{4}\pi R^{2}_{s}$$

para un Schwarzschild BH en la óptica geométrica límite. ¿De dónde viene el coeficiente?

Editar - Fuentes:

1. Espectros de absorción y emisión de un agujero negro de Schwarzschild.
2. Fermión la sección transversal de absorción de un agujero negro de Schwarzschild.

Answer 1

Lo que sigue es una muy burda adaptación del capítulo 25 de la Gravitación por Misner, Thorne y Wheeler.

Comenzar con la métrica de Schwarzschild con ángulo polar $\theta$ fija en $\pi/2$: $$ ds^2 = -\left(1 - \frac{R_\mathrm{S}}{r}\right) \mathrm{d}t^2 + \frac{1}{1-R_\mathrm{S}/r} \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\phi^2. $$ Para una prueba de partícula de masa de reposo $m$,¹ sabemos por definición $$ g_{\mu\nu} p^\mu p^\nu + m^2 = 0, $$ donde $\vec{p}$ es el 4-momentum de la partícula. Para un parámetro afín $\lambda$ parametrización un la worldline de la partícula, de estas dos ecuaciones se pueden combinar para dar $$ -\left(1 - \frac{R_\mathrm{S}}{r}\right) \left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 + \frac{1}{1-R_\mathrm{S}/r} \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 + r^2 \left(\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 + m^2 = 0 $$

Ahora la derivada en el primer término es simplemente la energía $E$, lo cual está relacionado con la conserva de energía en el infinito $E_\infty$$E = E_\infty/(1-R_\mathrm{S}/r)$. Además, la definición de momento angular es $L = r^2 (\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}\lambda)$, que también se conserva. La inserción de estas definiciones se da $$ -\frac{E_\infty^2}{1-R_\mathrm{S}/r} + \frac{1}{1-R_\mathrm{S}/r} \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 + \frac{L^2}{r^2} + m^2 = 0, $$ o $$ \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 = E_\infty^2 - \left(1 - \frac{R_\mathrm{S}}{r}\right) \left(\frac{L^2}{r^2} + m^2\right). $$ Utilizando de nuevo la definición de $L$, podemos escribir $$ \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi}\right)^2 = \frac{r^4}{L^2} \left(E_\infty^2 - \left(1 - \frac{R_\mathrm{S}}{r}\right) \left(\frac{L^2}{r^2} + m^2\right)\right), $$ que podemos reescribir a ser \begin{align} \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi}\right)^2 & = r^4 \frac{E_\infty^2-m^2}{L^2} \left(\frac{E_\infty^2}{E_\infty^2-m^2} - \left(1 - \frac{R_\mathrm{S}}{r}\right) \left(\frac{1}{r^2} \left(\frac{L^2}{E_\infty^2-m^2}\right) + \frac{m^2}{E_\infty^2-m^2}\right)\right) \\ & = \frac{r^4}{b^2} \left(\frac{E_\infty^2}{E_\infty^2-m^2} - \left(1 - \frac{R_\mathrm{S}}{r}\right) \left(\frac{b^2}{r^2} + \frac{m^2}{E_\infty^2-m^2}\right)\right), \end{align} donde $$ b = \frac{L}{\sqrt{E_\infty^2-m^2}} $$ es el parámetro de impacto, definido como la proporción de angulares a impulso lineal.

En este punto, tenemos un buen resultado general, pero para aplicarlo a los fotones tomamos el límite de $m \to 0$, lo que da $$ \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi}\right)^2 = \frac{r^4}{b^2} \left(1 - \frac{b^2}{r^2} \left(1 - \frac{R_\mathrm{S}}{r}\right)\right). $$ El radio de máximo acercamiento será el valor de $r = r_\text{min}$ que $\mathrm{d}r/\mathrm{d}\phi$ desaparece: \begin{gather} \frac{r_\text{min}^4}{b^2} \left(1 - \frac{b^2}{r_\text{min}^2} \left(1 - \frac{R_\mathrm{S}}{r_\text{min}}\right)\right) = 0; \\ \frac{b^2}{r_\text{min}^2} \left(1 - \frac{R_\mathrm{S}}{r_\text{min}}\right) = 1; \\ b^2 (r_\text{min} - R_\mathrm{S}) = r_\text{min}^3. \end{reunir}

La única cosa que queda es decidir lo $r_\text{min}$ está permitido si la luz es escapar. Ya que en este momento en la trayectoria de los fotones de la velocidad es completamente en la dirección tangencial por la construcción, la pregunta es cómo se puede cerrar en un fotón tiene una órbita circular? La respuesta es $r_\text{min} = 3R_\mathrm{S}/2$. Por lo tanto $b_\text{max}$, máximo del parámetro de impacto de un fotón a ser capturado, obedece a $$ b_\text{max}^2 \left(\frac{3}{2} R_\mathrm{S} - R_\mathrm{S}\right) = \left(\frac{3}{2} R_\mathrm{S}\right)^3, $$ o $$ b_\text{max}^2 = \frac{27}{4} R_\mathrm{S}^2. $$ Esto es exactamente lo que buscaba, ya que de inmediato nos dice $$ \sigma = \pi b_\text{max}^2 = \frac{27}{4} \pi R_\mathrm{S}^2. $$

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¹ podríamos $m = 0$ aquí, pero manteniendo que nos pongan un poco más general de los resultados intermedios.

Answer 2

La sección transversal se refiere a que en los papeles es la sección transversal total de la luz que brilla en el agujero negro. Se podría pensar que la sección transversal del agujero negro es solamente el área del horizonte de sucesos es decir $\pi r_s^2$. Sin embargo, cualquier luz que se aproxima más estrechamente $r = 3r_s/2$ (la última órbita estable) en espiral hacia el agujero negro, por lo que este aumenta la sección transversal. Y por último, originalmente paralelos los rayos de luz que viajan desde el infinito a concentrarse hacia el agujero negro así que incluso un rayo de luz más lejos que $r = 3r_s/2$ estará centrado en el y dale a la última órbita estable. El resultado final es que en paralelo de luz del infinito al agujero negro parece tener una sección transversal de $27\pi r_s^2/4$.

Digo todo esto con gran confianza, pero no tengo absolutamente ninguna idea de cómo calcular esta cifra. Sólo estoy citando de este libro. El libro proporciona las referencias se desea profundizar en cómo se hace el cálculo, pero me imagino que los cálculos son confusa y complicada.

Cualquier partícula que se mueve lo suficientemente rápido va a ver una similar de sección transversal a la luz.

Answer 3

1) Vamos a trabajar en las unidades en donde la velocidad de la luz $c=1$ es uno.

En La Ref. 1 se deriva de la radial geodésica ecuación para una partícula en el plano ecuatorial

$$\tag{7.47} (\frac{dr}{d\lambda})^2+2V(r)~=~E^2, $$

con potencial

$$ \tag{7.48} 2V(r)~:=~(1-\frac{r_s}{r})((\frac{L}{r})^2+\epsilon). $$

Aquí $\epsilon=0$ para una partícula sin masa y $\epsilon=1$ masivo de partículas. La energía $E$ y del momento angular $L$ son constantes de movimiento (que reflejan la Matanza-simetrías de la métrica de Schwarzschild); $\lambda$ es afín parámetro de la línea geodésica; y $r_s\equiv\frac{2GM}{c^2}$ es el de Schwarzschild-radio. (Más precisamente, en la masiva caso de $\epsilon=1$, las cantidades $E$ $L$ son cantidades específicas, es decir, las cantidades por unidad de masa de reposo; y $\lambda$ es el tiempo apropiado.)

2) Mediante la diferenciación de eq. (7.47) wrt. $\lambda$, nos encontramos con que la condición para una órbita circular

$$r(\lambda)~\equiv~ r_{*} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dr}{d\lambda}~\equiv~0$$

es

$$\etiqueta{1}V'(r_{*})~=~0\qquad\Leftrightarrow\qquad \frac{2r_{*}}{r_s}~=~3+\epsilon(\frac{r_{*}}{L})^2.$$

3) investigaremos una partícula entrante, que tiene un no-constante radial coordinar $\lambda\mapsto r(\lambda)$, y que es precisamente en la crítica de la frontera entre ser capturado y no ser capturada por el agujero negro. Habría una radial punto de inflexión $\frac{dr}{d\lambda}=0$ precisamente en el radio de $r=r_{*}$, por lo que

$$\etiqueta{2} 2V(r_{*})~=~E^2\qquad\Leftrightarrow\qquad (1-\frac{r_s}{r_{*}})((\frac{L}{r_{*}})^2+\epsilon)~=~E^2.$$

4) La masa de casos $\epsilon=0$. Eq. (1) los rendimientos

$$\tag{3}r_{*}~=~\frac{3}{2}r_s.$$

Conectar eq. (3) en eq. (2) a continuación, los rendimientos de la relación de

$$\tag{4} \frac{L}{E}~=~\frac{3}{2}\sqrt{3}r_s. $$

Estamos próximos a usar ese $L$ $E$ son constantes de movimiento, por lo que fácilmente se puede identificar con ellos en el infinito espacial $r=\infty$, en especial las fórmulas relativistas aplicar. El impacto crítico del parámetro $b$ es precisamente esta relación

$$\tag{5} b~=~\frac{L}{p}~=~\frac{L}{E}~\stackrel{(4)}{=}~\underline{\underline{\frac{3}{2}\sqrt{3}r_s}}. $$

5) La no-relativista caso de $v_{\infty}\ll 1$. La energía específica $E\approx 1$ se compone en su mayoría de la energía de reposo. La resolución de la nca. (1) y (2) a continuación, conduce a una solución única

$\tag{6}r_{*}~\approx~ 2r_s~\approx~ L.$

El impacto crítico del parámetro $b$ se convierte en

$$\tag{5} b~=~\frac{L}{v_{\infty}}~\approx~\underline{\underline{2r_s\frac{c}{v_{\infty}}}}, $$

cf. Ref. 2. La sección transversal es $\sigma=\pi b^2$.

Referencias:

1. S. Carroll, Notas de la Conferencia en la Relatividad General,en el Capítulo 7, pág.172-179. El archivo pdf que está disponible en su sitio web.

2. V. P. Frolov y I. D. Novikov, la Física de los agujeros Negros: Conceptos Básicos y Novedades, p.48.