¿Variable exógena en el modelo de media y varianza?

Question

$$\begin{aligned} y_t &= \beta_0 + \beta_1 y_{t-1} + \beta_2 x_{t-1} + \epsilon_t, \\ \epsilon_t &= \sqrt{h_t}\eta_t, \\ h_t &= \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 h_{t-1} + \alpha_3 e^{x_{t-1}}, \\ \eta_t &\sim N(0,1) \ \forall \ t. \\ \end{aligned}$$

1. ¿Tiene sentido incluir una variable exógena ( $x_t$ ) tanto en el modelo de media como en el de varianza?

2. ¿Siguen siendo válidas las inferencias estándar sobre los coeficientes?

3. Dado que la variable exógena está tanto en la media como en la varianza, veríamos endogeneidad y, por tanto, estimación sesgada de la $\beta_2$ ¿parámetro?

Answer 1

1. Esto puede tener sentido. No hay nada contradictorio o paradójico en incluir $x_t$ en las ecuaciones de la media condicional y de la varianza condicional.

2. Depende de lo que se entienda por norma. Inferencia sobre $\alpha$ s es en cierto modo no estándar incluso en un modelo GARCH simple; véase la parte II de Francq & Zakoian "Modelos GARCH: Estructura, inferencia estadística y aplicaciones financieras" (2010), por ejemplo, el capítulo 8 "Pruebas basadas en la probabilidad". Aparte de eso, no espero que la adición de una variable exógena a las ecuaciones deba estropear más la inferencia, al menos cuando $y_t$ y $x_t$ son estacionarios.

3. No, no creo que haya endogeneidad, porque $x$ no es una función de $y$ . En cuanto a la insesgadez, incluso sin regresores exógenos, las estimaciones de los coeficientes pueden estar sesgadas. En un modelo AR(1) simple, creo que tanto los estimadores OLS como los ML están sesgados. Añadir un regresor exógeno y hacer que la varianza condicional varíe en el tiempo no cambiará eso.