Evaluar $\int_{0}^{\infty}\frac{\ln^m(x)}{\prod_{k=0}^{n}(1+\alpha_k x)}\mathrm dx=G(m)$

Question

Dado que,

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln^m(x)}{\prod_{k=0}^{n}(1+\alpha_k x)}\mathrm dx=G(m)$$

Supongamos que $\alpha_n$ son números enteros

Pude ver un patrón para $m=1$

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{\prod_{k=0}^{n}(1+\alpha_k x)}\mathrm dx=-\frac{1}{2^{n+1}n!}\sum_{j=0}^{n}(-1)^j{n\choose j}\alpha_j^{n-1}\ln^2(\alpha_j)$$

pero para $m\ge2$ no he sido capaz de elaborar la forma cerrada general para $G(m)$

¿Cómo podemos evaluar para $G(m)$ ?

Answer 1

Supongamos que $a_k>0$ .

Denote $$P(c)=\prod^n_{g=0,g\ne c}(1-\frac{a_g}{a_c})$$

Entonces, por el teorema del residuo, se puede obtener la relación recursiva $$\sum^{m-1}_{j=0}C^m_j (2\pi i)^{m-j}G(j)=-2\pi i\sum^n_{k=0}\frac{(\pi i-\ln a_k)^m}{P(k)}$$

Me explayaré más adelante.

Tenga en cuenta que $G(0)$ no puede se definen mediante esta relación. $G(0)$ tiene que ser evaluado explícitamente. Eso no es muy difícil.