Demuestre que ambas secuencias convergen a un límite común

Question

Demuestre que si $a_1>b_1>0,a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$ y $b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$ entonces $a_n$ y $b_n$ ambos convergen a un límite común.

Parece un poco intuitivo pero no soy capaz de ponerlo por escrito. He intentado utilizar la prueba de Cauchy pero no me ayuda (introduciendo más variables). Alguna ayuda por favor. Gracias.

Answer 1

Uno tiene $$a_1>b_2>b_3>b_4>\cdots>a_4>a_3>a_2>b_1.$$ Así que ambos $(a_n)$ y $(b_n)$ convergen, a $A$ y $B$ decir. Entonces $b_{n+1}=(a_n+b_n)/2\to (A+B)/2$ . Pero $b_{n+1}\to B$ .

El límite común es el media aritmética-geométrica (AGM).