Identificación de cada espacio tangente $T_pV$ con $V$ ¿en sí mismo?

Question

Esta afirmación de mi texto me pareció muy confusa:

¿Qué significa la identificación de cada espacio tangente $T_pV$ con $V$ ¿en sí mismo? - ¿qué significa realmente "identificación" en este caso?

Si significa isomorfo, entonces entra en conflicto con mi entendimiento de que cada espacio tangente $T_pV$ es localmente isomorfo a $V$ .

¿Qué es? $Xf$ ? No entiendo la expresión. No sé cuál es la función $f$ .

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Lo que está implícito en el comentario del autor es la visión de un vector tangente como un funcional lineal en el espacio de funciones suaves definidas cerca de $p$ .

Esta es una forma algo indirecta de pensar en un vector tangente, y no conecta fácilmente con la intuición, pero puede ser eficiente cuando se estudian las variedades suaves.

El punto del autor es que cuando el colector resulta ser un espacio vectorial $V$ existe una opción natural para dicho funcional, a saber, la dada por la fórmula $Xf = \frac{d}{dt}\big\vert_{t=0}$ etc. En este caso, el enfoque de la rotonda es claramente redundante, pero hay que demostrar que es coherente con lo que esperamos intuitivamente, es decir, la derivada direccional.

Answer 2

Se puede pensar en los espacios tangentes como las "direcciones en las que uno se puede mover" (que incluyen tanto la velocidad como la dirección, es decir, son vectores) en una variedad en un punto $p$ . No es difícil convencerse de que si se mira un punto en un espacio vectorial (que debe considerarse plano en cierto sentido), las direcciones en las que se puede mover corresponden a todos los vectores del espacio. Si empiezo en un punto de $\mathbb{R}^n$ Puedo seguir adelante. $\mathbb{R}^n$ en cualquier dirección desde $\mathbb{R}^n$ . No es así si empiezo en un punto de la biesfera en $\mathbb{R}^3$ donde sólo puedo moverme en direcciones tangentes a la biesfera.

Ahora, cuando se lee "dirección", se puede sustituir por "el operador sobre las funciones que es la derivada direccional en esa dirección". De hecho, así es como los geómetras consiguieron hacer rigurosa la noción de las direcciones en las que te puedes mover en una variedad en un punto determinado.