Funciones trigonométricas son simples razones, pero ¿qué Cosh, Sinh y Tanh calcular? Cómo se relacionan con el número de euler de todos modos?
Respuesta
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Interpretación geométrica
[ ... ] ¿qué Cosh, Sinh y Tanh calcular?
Tome el círculo unidad, $x^2+y^2=1$. Al describir un sector de este círculo, se puede hablar de su ángulo de $\theta$ en radianes, o la longitud del arco $r\theta$, o el doble de área $r^2\theta$, y obtener siempre el mismo número desde $r=1$. Pero es esta última interpretación como una (doble) de la zona que se traduce en hipérbolas.
Tome la unidad de la hipérbola $x^2-y^2=1$, y considerar el área delimitada por un arco de esta hipérbola, comenzando en el punto de $(1,0)$, si los dos extremos de este arco son conectados al origen $(0,0)$. El doble de esta área se corresponde con el ángulo de la circular de funciones trigonométricas, y la sinh y cosh de que el argumento será el $y$ $x$ de coordenadas hasta el punto donde el arco de la hipérbola extremos.
El uso de una imagen de la Wikipedia para ilustrar esto:
Relación con la constante de Euler
Cómo se relacionan con el número de euler de todos modos?
A ver cómo $e$ viene a este, que podría ser mejor que un vistazo a algunos de la serie de expansiones.
\begin{alignat*}{9} \exp(x) &{}= \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} &={}&& 1 &&{}+ x &&{}+ \frac{x^2}{2!} &&{}+ \frac{x^3}{3!} &&{}+ \frac{x^4}{4!} &&{}+ \frac{x^5}{5!} &&{}+ \;\cdots \\ \sin(x) &{}= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} &={}&&&& x &&&&{}- \frac{x^3}{3!} &&&&{}+ \frac{x^5}{5!} &&{}- \;\cdots \\ \cos(x) &{}= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} &={}&& 1 &&&&{}- \frac{x^2}{2!} &&&&{}+ \frac{x^4}{4!} &&&&{}- \;\cdots \\ \sinh(x) &{}= \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &={}&&&& x &&&&{}+ \frac{x^3}{3!} &&&&{}+ \frac{x^5}{5!} &&{}+ \;\cdots \\ \cosh(x) &{}= \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} &={}&& 1 &&&&{}+ \frac{x^2}{2!} &&&&{}+ \frac{x^4}{4!} &&&&{}+ \;\cdots \\ \end{alignat*}
Así como usted puede ver, todas las funciones trigonométricas están estrechamente relacionadas con la función exponencial, y por lo tanto a $e$. La circular de funciones trigonométricas tienen estos alternancia de signos, que se explica mejor como un asunto puramente imaginario argumento a la función exponencial. Las funciones hiperbólicas no lo tiene, así que se expresan a través de $e$ es bastante intuitiva, incluso por encima de los reales. Si quieres expresar todo lo que a través de la función exponencial, se podría hacer así:
\begin{align*} \sin(x) &= \frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i} & \sinh(x) &= \frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2} \\ \cos(x) &= \frac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2} & \cosh(x) &= \frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2} \end{align*}
Origen histórico
¿Cómo eran las funciones Hiperbólicas derivados/descubierto?
Tenga en cuenta que la anterior es una explicación de cómo se pueden interpretar estas funciones, y cómo se puede ver la relación con la función exponencial. No es un histórico de la explicación acerca de cómo estas cosas fueron descubiertos por primera vez. No sé lo suficiente de la historia de las matemáticas para responder a esa pregunta. En este sentido, la respuesta anterior es incompleta.
Si tuviera que adivinar, entonces yo supongo que estas series o los términos de uso de las funciones exponenciales apareció en algunas de las ecuaciones, y después de que lo hizo con la suficiente frecuencia, alguien decidió dar un nombre a ellos. El nombre elegido se indica que tanto la relación a la circular de la función trigonométrica y la hipérbola se entendía en ese momento, pero eso no necesariamente significa que hipérbolas fueron objeto de estudio cuando estos aparecieron por primera vez. Podría ser, sin embargo.
Wikipedia dice sobre esto:
Las funciones hiperbólicas se introdujeron en la década de 1760, independientemente de Vincenzo Riccati y Johann Heinrich Lambert.[3]
Tal vez ese libro puede dar más de fondo.
