Extraña implicación de la invariancia relativista de la ecuación de Dirac

Question

Al menos tal y como se formula normalmente, la ley de transformación de una solución de la función de onda de la ecuación de Dirac a otro marco inercial parece indicar que si el observador 1 está seguro de que la partícula es un electrón, el observador 2 (en un marco que se mueve respecto al primero) juzgará que podría ser un electrón o podría ser un positrón. ¿Pero la carga no debería ser invariante bajo la transformación de Lorentz?

Para expresar esto con más detalle, la transformación de Lorentz de la función de onda de 4 componentes, como se da por ejemplo en (4.22) de http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/four.pdf , generalmente cambia una función de onda de la forma (1,0,0,0) en el marco O a (a,b,c,d) en el marco Oprime. Esto significa que O está seguro de que la partícula es un electrón con espín hacia arriba, mientras que Oprime asigna una probabilidad no nula a que la partícula sea un positrón (ya que c y d no son cero). Gracias a Sanya por solicitar esta adición.

Answer 1

Incluso si se interpreta la ecuación de Dirac de la forma original (no como una teoría cuántica de campos), la transformación de Lorentz no mezcla el electrón y el positrón. Consideremos dos tipos de onda plana con frecuencia positiva y frecuencia negativa $$u(p)e^{-i (E t-p x)},\quad v(p)e^{+i (E t-p x)}$$ La idea es que la energía $E$ es siempre positivo, pero la frecuencia positiva describe un electrón y la negativa un positrón.

Bajo una transformación de Lorentz el vector 4 (E,p) cambiará a (E',p') pero una transformación de Lorentz adecuada no cambia el signo de la componente temporal, es decir, la energía, por lo que no mezcla los dos tipos de onda plana.

Si se quiere describir la carga de una manera invariante de Lorentz, la cantidad $\bar{\psi}\gamma^\mu \psi$ es un vector 4 que describe la corriente.