Derivación de ángulos de Euler

Question

He estado tratando de entender la idea de ángulos de Euler desde hace un tiempo. ¿Alguien puede indicar si mi entendimiento es correcto o no?

Situación: Tenemos 3 ejes conocidos como ejes principales de inercia que definen ejes de rotación de un cuerpo, el cuerpo es simétrico de rotación alrededor de cada uno de estos ejes, y si partimos de un sistema cartesiano $i,j,k$, necesitamos orientarlo de tal manera que estén en posición o coincidan con los ejes principales, cada una de las orientaciones que los ángulos de rotación definen un cambio único en la orientación es decir rotación, ¿así que podemos construir cualquier rotación combinando estos vectores de ángulos de Euler?

No creo que entienda completamente cómo se definen los ángulos de Euler, mi intuición sobre esta derivación debería definirse así, 1. rotar alrededor del eje $z$ 2. rotar alrededor del eje $y$, 3. rotar alrededor del eje $x$. Pero no puedo convencerme a mí mismo de por qué estoy equivocado. Espero que algún experto pueda señalarme.

Answer 1

No creo que entienda completamente cómo se definieron los ángulos de Euler, mi intuición a esta derivación debería definirse así, 1. rotar alrededor del eje z 2. rotar alrededor del eje y, 3. rotar alrededor del eje x. Pero no puedo convencerme a mí mismo de por qué estoy equivocado. Espero que algún experto pueda señalarme.

La secuencia representada en la publicación original implicaba

• Una rotación por un ángulo $\phi$ alrededor del eje z, formando el sistema x', y', z' (con el eje z' siendo el mismo que el eje z) seguido por
• Una rotación por un ángulo $\theta$ alrededor del eje x', formando el sistema x'', y'', z'' (con el eje x'' siendo el mismo que el eje x'), seguido por
• Una rotación por un ángulo $\psi$ alrededor del eje z'', formando el sistema de coordenadas deseado.

Esa secuencia intrínseca "ZXZ" es la secuencia canónica de Euler, canónica no porque sea más simple, sino simplemente porque así es como Euler definió inicialmente esta rotación. De hecho, hay otras 23 secuencias similares a Euler. Por ejemplo, en lugar de rotar alrededor de los ejes rotados, se puede utilizar una rotación alrededor del eje z original, luego una rotación alrededor del eje x original, y finalmente alrededor del eje z original. Esa es la secuencia de rotación extrínseca ZXZ.

De manera similar, esa segunda rotación podría haber sido alrededor del eje y' (intrínseca ZYZ) o alrededor del eje y (extrínseca ZYZ). Hay doce secuencias de la forma ABA, seis intrínsecas y seis extrínsecas.

Las otras doce secuencias Euler-like involucran rotaciones alrededor de tres ejes distintos. Tu secuencia intrínseca ZYX representa una de estas doce secuencias de Tait-Bryan. Hay seis secuencias de Tait-Bryan intrínsecas y seis extrínsecas.

Cualquiera de estas 24 secuencias de rotación tipo Euler obviamente producirá alguna orientación adecuada en el espacio tridimensional. ¿Qué pasa con la inversa: se puede usar cualquiera de estas 24 secuencias de rotación tipo Euler para describir una orientación adecuada arbitraria en el espacio tridimensional? La respuesta es sí, por construcción. Hay algoritmos para convertir cualquier orientación (adecuada) arbitraria a cada una de esas secuencias de rotación tipo Euler.

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Nota que usé "adecuada" arriba. No hay forma de expresar el marco XYZ donde $\hat X = \hat z$, $\hat Y = \hat y$, $\hat Z = \hat x$ como una secuencia de Euler. Esto es una reflexión en el plano $x=z$. Las transformaciones que involucran una reflexión son orientaciones "inadecuadas". Tales orientaciones inadecuadas no pueden ser representadas a través de una secuencia de Euler de ninguna forma.

Answer 2

El cuerpo rígido que se está rotando es arbitrario; no necesita ser simétrico en rotación.

Para usar ángulos de Euler, asumimos que la rotación es ejecutada por el cuerpo que se está rotando (digamos, un avión con aletas o una nave espacial con propulsores) en lugar de por algún manipulador externo. Por lo tanto, para todas las rotaciones intermedias, debemos considerar la perspectiva del cuerpo.

El cuerpo tiene su propia noción de "izquierda", "derecha", "frente", "atrás", "techo" y "suelo". Esto se representa mediante los marcos de coordenadas del cuerpo, definidos por $3$ vectores de dirección (considerados como entidades abstractas independientes). Que el marco inicial sea $(x,y,z)$ y el final sea $(X,Y,Z)$. La rotación de Euler descompone la rotación en $3$ rotaciones elementales con 2 pasos intermedios:

$$(x,y,z) \to (x',y',z') \to (x'',y'',z'') \to (X,Y,Z).$$

Dado que la rotación es actuada por el cuerpo, para $(x',y',z') \to (x'',y'',z'')", "olvidamos" el marco original $(x,y,z)$ y solo podemos utilizar $(x',y',z')$. Lo mismo ocurre con $(x'',y'',z'') \to (X,Y,Z)$.

Para la rotación de Euler, cada rotación intermedia se aplica alrededor de un eje de coordenadas existente del marco inmediatamente anterior. En el artículo de Wikipedia, la "Definición Clásica" enumera la elección como $z$-$x'$-$z''$. Hay otras posibilidades, pero esto no es arbitrario porque hay opciones "tontas" como $z$-$z'$-$z''$, que no pueden representar todas las rotaciones.

Es bastante extraño que en $z$-$x'$-$z''$, no veamos ningún $\{y,y',y''\}$. Mi suposición es que la convención es útil porque te permite usar solo 2 dispositivos giratorios independientes en un vehículo. El tercero puede ser omitido por completo o utilizado como respaldo.