Es $ \partial_{\mu} \partial^{\mu} $ ¿la segunda derivada o la derivada al cuadrado?

Question

Puede que sea una pregunta tonta, pero apenas me estoy mojando con las teorías de campo. Hasta ahora he asumido que $ \partial_{\mu} \Phi\partial^{\mu}\Phi $ significa $ (\Phi_t)^2-(\Phi_x)^2-...$ . Pensé esto, porque tenía sentido para mí, que una densidad lagrangiana tiene un término cinético proporcional a algún tipo de velocidad al cuadrado ( $ \Phi_t^2)$ Y me dije a mí mismo que en la teoría del campo una derivada espacial al cuadrado es similar.

Tomemos por ejemplo el lagrangiano de Sine-Gordon, tal y como lo escribió mi mentor: $$\mathcal{L}_{SG} = \frac{1}{2}\partial_{\mu} \Phi\partial^{\mu}\Phi +\cos(\Phi) $$ cuando se resuelve para las ecuaciones de movimiento, creo que esto produce algo como: $$ \Box\Phi+\sin(\Phi)=0$$ donde $ \Box$ es sólo el d 'Alembertian, $ \Box=\partial_{\mu} \partial^{\mu}$ ¿pero ahora pensamos en ella como una segunda derivada? Supongo que sí, porque otra forma de escribir el EoM es: $ \frac{1}{c^2}\Phi_{tt}-\Phi_{xx}+\sin(\Phi)=0 $

Answer 1

Creo que un rápido repaso a la notación de índices y a la relatividad aclarará esto. (En lo que sigue utilizaré unidades en las que $c=1$ .) Consideremos en primer lugar el operador $\partial_\mu$ que es el cuatro gradientes representado por: $$\partial_\mu \equiv \begin{pmatrix} \partial_t & \partial_x & \partial_y& \partial_z\end{pmatrix}.$$

Se trata de un operador ya que puede actuar sobre un escalar de Lorentz y producir un cuatro-vector, al igual que el operador de gradiente "normal" puede actuar sobre un campo escalar y producir un campo vectorial. Así que $\partial_\mu \Phi$ nos referimos al objeto:

$$\partial_\mu \Phi \equiv \begin{pmatrix}\partial_t\Phi & \partial_x\Phi & \partial_y\Phi & \partial_z\Phi \end{pmatrix},$$

y por lo tanto la cantidad $\partial^\mu \Phi \partial_\mu \Phi$ es sólo una abreviatura de:

$$\partial^\mu \Phi \partial_\mu \Phi = \eta^{\mu\nu} \partial_\nu \Phi \partial_\mu \Phi = -(\partial_t \Phi)^2 + (\partial_x\Phi)^2 + (\partial_y\Phi)^2 + (\partial_z\Phi)^2.$$

donde he utilizado el $(- + + +)$ firma métrica.

Sin embargo, la cantidad $\partial_\mu \partial^\mu$ es otra cosa totalmente distinta: si se siguen las convenciones de notación de índices, entonces $$\partial_\mu \partial^\mu \equiv \eta^{\mu\nu}\partial_\nu \partial_\mu = - \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^2 + \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^2.$$

Este operador también puede actuar sobre un campo escalar, pero produce una escalar (muy parecido al Laplaciano $\nabla^2$ puede actuar sobre un escalar y producir un escalar), y así $$\partial_\mu \partial^\mu \Phi = - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}.$$

Te dejo que veas por qué estas dos cantidades no son iguales.

Answer 2

Utilizando un $(+1,-1,-1,-1)$ La métrica de Minkowski,

$$\Box\Phi=\partial_\mu\partial^\mu\Phi=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}- \frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2}-\frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2}$$

mientras que

$$\partial_\mu\Phi\partial^\mu\Phi=\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial\Phi}{\partial t}\right)^2-\left(\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right)^2– \left(\frac{\partial\Phi}{\partial y}\right)^2 -\left(\frac{\partial\Phi}{\partial z}\right)^2.$$

El operador $\partial_\mu\partial^\mu$ por sí mismo siempre significa

$$\partial_\mu\partial^\mu=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}-\frac{\partial^2}{\partial z^2}.$$

Pero tenga en cuenta que esto también se puede escribir como

$$\partial_\mu\partial^\mu=\left(\frac1c\frac{\partial}{\partial t}\right)^2-\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2– \left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 -\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^2.$$

Una segunda derivada como operador es una derivada repetida ("al cuadrado"). Pero una segunda derivada de $\Phi$ no es el cuadrado de la primera derivada de $\Phi$ . El primero es lineal en $\Phi$ mientras que esta última es cuadrática en $\Phi$ .