Cálculo de la integral de Lebesgue

Question

Consideremos nuestro conjunto de referencia $\Omega = \mathscr{R}$ y nuestro campo sigma es $F = \mathscr{B}$ el campo Sigma de Borel, y supongamos que nuestra medida es Lebesgue-Stieltjes $\mu$ . Definir $X_n$ como:

$$X_n = \frac{1}{n} \mathscr{1}_{[0,n]} $$

Cómo calcular $\int X_n d_\mu$ ? Se afirma que $\int X_n d_\mu = 1$ pero no sé cómo conseguirlo.

Esto es lo que pienso:

$X_n$ es una función simple, por lo tanto, la integral es igual a :

$\int X_n d_\mu = \sum_{0}^{\infty} 1/n* (n)$ pero seguro que no es igual a 1.

gracias por su ayuda.

Answer 1

No sé qué te lleva a escribir $\textstyle\sum_0^\infty$ pero esa es la fuente de su confusión. Recordemos que la integral de una función simple $$\sum_{i=1}^m c_i\mathbf{\large 1}_{A_i}$$ es, por definición, $$\sum_{i=1}^m c_i\mu(A_i).$$ En la función simple $X_n$ Sólo hay una $c_i$ y $A_i$ (en otras palabras, $m=1$ ). El valor de $c_1$ es $\frac{1}{n}$ y el conjunto $A_1$ es el intervalo $[0,n]$ . Por lo tanto, $$\int X_n \,d\mu=\sum_{k=1}^1c_i\mu(A_i)=\frac{1}{n}\mu([0,n])=\frac{1}{n}\cdot n=1.$$