Imágenes de $\{0,1\}^\kappa$

Question

¿Existe un espacio topológico compacto $(X,\tau)$ tal que para ningún cardenal $\kappa$ existe un mapa continuo suryente $e:\{0,1\}^\kappa \to X$ ?

(Suponemos que $\{0,1\}$ está dotado de la topología discreta, y $\{0,1\}^\kappa$ tiene la topología del producto).

Answer 1

Me encontré con el mismo problema en QGIS 2.14.3, pero el problema era porque estaba conectado a la red VPN de la empresa que tiene un marco que impide la descarga a todos estos por lo que la ventana del gestor de plugins no mostraba ninguno de los plugins importantes en la lista. Una vez que me desconecté de la VPN empresarial, empecé a ver estos importantes plugins en el menú del gestor.

Answer 2

Para ampliar la respuesta de Joseph, la clase de imágenes continuas de los cubos de Cantor tiene un nombre elegante, son las llamadas espacios diádicos . Hay un buen resultado de Haydon: todo espacio Dugundji es diádico. (Un espacio $X$ es Dugundji si la conclusión del teorema Borsuk--Dungundji se cumple para $X$ .)

R. Haydon, Sobre un problema de Pełczyński: Espacios Milutin, espacios Dugundji y AE(0-dim) , Studia Math. 52 (1974), 23-31.

Es fácil ver que la conclusión del teorema de Borsuk--Dugundji falla para $\beta \mathbb{N}$ (en realidad es un contraejemplo paradigmático).

Answer 3

Yo diría que el contraejemplo más sencillo es el $1$ -de un espacio discreto no contable (por supuesto, cualquier compactación de cualquier espacio discreto no contable serviría).