Solucionar $\cos^{n}x-\sin^{n}x=1$$n\in \mathbb{N}$.

Question

Solucionar $\cos^{n}x-\sin^{n}x=1$ $n\in \mathbb{N}$

No tengo idea de cómo lidiar con este loco que se trate. Una idea surgió en mi la mina es la factorización, pero no puedo ir... alguien me Puede ayudar por favor? Gracias.

Answer 1

Consideramos que el $2\pi$-función periódica $$f(x):=\cos^n x-\sin^n x$$ y determinar sus puntos estacionarios en $[0,2\pi[\ $. Uno se $$f'(x)=-n\cos x\sin x\bigl(\cos^{n-2}x+\sin^{n-2}x\bigr)\ ;$$ por lo tanto, los puntos estacionarios son los múltiplos de ${\pi\over2}$, y por extraño $n>2$ de los puntos en donde se $\cos x=-\sin x$, es decir, los puntos de ${3\pi\over4}$${7\pi\over4}$. En estos puntos, uno tiene los valores $$f(0)=1, \quad f({\pi\over2})=-1,\quad f(\pi)=(-1)^n,\quad f({3\pi\over2})=(-1)^{n-1}\ ,$$ además, para $n=2m+1$ los valores $$f({3\pi\over4})=-{\sqrt{2}\over 2^m}, \quad f({7\pi\over4})={\sqrt{2}\over 2^m}<1\ .$$ De ello se deduce que el valor máximo de $f$$1$. Este valor es tomado en $0$ $\pi$ si $n$ es aún, y en $0$ ${3\pi\over2}$ si $n$ es impar.

Answer 2

Sugerencia:

Para todos los $n$, cuando $\cos(x)=1$, $\sin(x)=0$.

Incluso para $n$, cuando $\cos(x)=-1$, $\sin(x)=0$.

Por extraño $n$, cuando $\sin(x)=-1$, $\cos(x)=0$.

Answer 3

Si $n$ es par, entonces

$$1= \cos^{n}x-\sin^{n}x \leq 1-0=1$$

con igualdad si y sólo si $\cos^{n}x=1, \sin^n(x)=0$.

Si $n$ es impar,

$$1= \cos^{n}x-\sin^{n}x \,,$$

implica $\cos(x) \geq 0$$\sin(x) <0$. Deje $\cos(x)=y, \sin(x)=-z$,$y,z \geq 0$.

$$y^n+z^n=1$$ $$y^2+z^2=1$$

Caso 1: $n=1$:

Entonces , desde el $0 \leq y,z \leq 1$ hemos

$$1 =y+z \leq y^2+z^2 =1$$

con igualdad si y sólo si $y=y^2, z=z^2$.

Caso 2: $n \geq 3$:

Entonces , desde el $0 \leq y,z \leq 1$ hemos

$$1 =y^2+z^2 \leq y^n+z^n =1$$

con igualdad si y sólo si $y^2=y^n, z^2=z^n$.