Derivar o construir un hamiltoniano a partir de una matriz de densidad

Question

¿Es posible crear un Hamiltoniano si se da una Matriz de Densidad.

Si ya tiene la matriz de densidad, ¿es necesaria la función de partición (Z) es necesaria?

Esta pregunta no se refiere a la física. Se trata de una aplicación de las matemáticas a sistemas poco definidos y dinámicos como las poblaciones (de cualquier tipo) y las carteras de acciones y bonos (otro tipo de población).

Veo una conexión aquí.

Answer 1

¿Es posible crear un Hamiltoniano si se da una Matriz de Densidad.

No. El hamiltoniano describe el sistema y la matriz de densidad describe la estado del sistema. El equivalente de tu pregunta en mecánica clásica sería algo así como

¿es posible recrear la dependencia de la fuerza con respecto a la posición si se da una única instantánea de la posición de la partícula en un único instante?

lo que debería ser inmediatamente reconocible como ridículo.

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Dicho esto, ya que menciona las funciones de partición, es razonablemente probable que esté preguntando por los estados térmicos, en cuyo caso su pregunta puede reformularse como

¿Es posible recuperar el hamiltoniano de un sistema dada la matriz de densidad de un estado térmico bajo ese hamiltoniano?

a lo que la respuesta es sí .

La respuesta sencilla es que la matriz de densidad de un estado térmico viene dada por $$ \hat \rho = \frac1Z e^{-\beta\hat H}, $$ por lo que el hamitoniano se puede recuperar como $$ \hat H = -\frac{\ln(\hat\rho)+\ln(Z)}{\beta } $$ Esto puede ponerte comprensiblemente nervioso, ya que incluye el logaritmo de un operador. Hay que entender que actúa sobre los valores propios en cualquier descomposición espectral: si $$ \hat\rho = \sum_{n,m} p_n |n,m⟩⟨n,m| $$ es una descomposición espectral de $\hat\rho$ con $m$ indexando los eigenproyectores dentro de cada subespacio degenerado, entonces el hamiltoniano puede construirse explícitamente como $$ \hat H = -\sum_{n,m} \frac{\ln(p_n)+\ln(Z)}{\beta } |n,m⟩⟨n,m|. $$

Ahora, si todo lo que sabes es $\hat\rho$ entonces usted tiene acceso a la $p_n$ y el $|n,m⟩⟨n,m|$ pero no podrá acceder a la función de partición, por lo que sólo podrá calcular $\hat H$ hasta el primer término de $$ \hat H = -\sum_{n,m} \frac{1}{\beta}\ln(p_n) |n,m⟩⟨n,m| - \frac{1}{\beta }\ln(Z) \mathbb I, $$ es decir, sólo podrá recuperar $\hat H$ modulo una constante por el operador de identidad. Obviamente, esto es de esperar, ya que compensar el hamiltoniano por una constante no afectará a los estados térmicos que produce.

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En cuanto a este comentario, por otro lado,

La idea es saltar de la "Mecánica Cuántica" a cualquier sistema complejo: carteras de valores, fondos, dinámica de poblaciones (de organismos), etc.

si el sistema se describe con las mismas matemáticas que la QM, entonces las matemáticas se aplicarán. Sin embargo, si no tienen una base sólida de trabajo de modelización en el otro campo que les diga que el formalismo matemático es válido, entonces no es válido. Ninguno de los campos que has mencionado tiene esa analogía.

Answer 2

Tanto en la mecánica clásica como en la cuántica hay dos conceptos relativamente distintos:

1. Estado del sistema.

2. La ley de evolución del sistema.

En la mecánica clásica de $N$ partículas puntuales, se puede pensar en la primera como en las posiciones y los momentos de las partículas, $\{q_1,\ldots,q_N,p_1,\ldots,p_N\}$ mientras que del segundo como de la función hamiltoniana $H(q_1,\ldots,q_N,p_1,\ldots,p_N)$ .

Por ejemplo, el estado (inicial) de un sistema unidimensional en el tiempo $t_0$ puede estar dada por algunos números $q=q_0, p=p_0$ . Lo que le ocurrirá a la partícula en el siguiente segundo, depende de la forma de $H$ que puede ser, por ejemplo, $H=p^2+q^2$ o $H=p^2+q^4$ . En cualquier momento, dados los valores de su $q$ y $p$ se puede calcular cualquier observable (que es una simple función de aquellos). Por ejemplo, si $q$ representa la coordenada cartesiana, la energía cinética en $t=t_0$ es simplemente

$$E_K(q,p) = \dfrac{p_0^2}{2m}$$

Por último, debemos decir que, en caso de que su descripción del sistema cuántico sea indeterminista, en lugar de valores precisos de $q_0$ y $p_0$ tienes que lidiar con alguna distribución de probabilidad de los mismos, $f_0(p,q)$ . En tal caso, su mejor estimación de la energía en $t_0$ sería $$E_K = \int f_0(q,p) E_K(q,p)dqdp$$

Ahora, volviendo a su pregunta original. Tenemos más o menos lo mismo en la mecánica cuántica. El estado de un sistema "determinista" viene dado por un vector de onda (una forma de representarlo es una función de onda). Utilicé las comillas porque incluso si conoces el estado del sistema con precisión, dependiendo de la forma particular de la medición, puede que no seas capaz de predecir su resultado. Sin embargo, también puedes tener un estado cuántico-mecánico que sería un análogo de un estado clásico indeterminista. Y ahí es donde tendrías que introducir la matriz de densidad (en realidad, Landau lo hizo por ti). Moraleja: el estado de cualquier sistema mecánico-cuántico viene dado por una matriz de densidad que, en ciertos casos, puede reducirse a un único vector de onda.

Sin embargo, hasta ahora sólo hemos hablado de los estados del sistema. La evolución del sistema está definida por su hamiltoniano, que ahora no es una función, sino un operador que actúa sobre el espacio de vectores de onda que describen el estado del sistema (suele ser una función de $\hat{q}$ y $\hat{p}$ que también son operadores, y ya no definen el estado del sistema.

Así, la correspondencia es la siguiente. Estado del sistema:

$$ \text{Deterministic (pure) states:}\quad\{q,p\}\longleftrightarrow |\psi\rangle \\ \text{Indeterministic (mixed) states:}\quad f(q,p)\longleftrightarrow\hat{\rho}=\int f(q) |q\rangle\langle q| dq\\ $$

Evolución del sistema: $$ H(q,p)\longleftrightarrow\hat{H}(\hat{q},\hat{p}) $$

En resumen: la matriz de densidad y el hamiltoniano son dos conceptos diferentes que deben especificarse por separado para dar la descripción completa del sistema: la primera especifica su estado inicial, la segunda, cómo evolucionará con el tiempo.

Answer 3

No. Supongamos que tienes una mezcla de estados de spin-up/spin-down: $$ \rho=\left(\begin{array}{cc} 1-\alpha & 0 \\ 0 &\alpha\end{array}\right)\, . $$ No hay información sobre la evolución del sistema, en el sentido de que no hay razón para suponer que esta matriz de densidad deba evolucionar según $H=\omega \sigma_z$ o $H=\omega\sigma x$ o el más general $H=\omega \hat n\cdot\vec\sigma$ para el caso.