Métodos de integración numérica de una integral definida sobre singularidades

Question

Al estudiar el mapeo de Schwarz-Christoffel, me he encontrado con ciertas integrales que quiero integrar numéricamente. Por ejemplo, una de estas integrales es:

$\int_{0}^{1} (z^2 - z)^{-2/3} dz$

Una mirada rápida a un gráfico del integrando de Desmos lo demuestra:

La integral es simétrica respecto a $x = 1/2$ Sin embargo, tiene singularidades en ambos extremos. Además, a simple vista parece que estos puntos finales permitirán que la integral converja.

Sin embargo, al evaluar la integral definida utilizando diferentes programas como Wolfram-Alpha, obtengo respuestas que son imaginarias, lo que no podría ser el caso ya que la integral está en la línea real. Wolfram-Alpha da $-2.64996 - 4.58986 i$ . Supongo que es porque las raíces que se evalúan con estos programas no son las raíces reales.

¿Hay alguna forma de transformar la integral para que desaparezcan las singularidades? He intentado desplazar la curva para que las singularidades estén en $x = -1/2$ y $x = 1/2$ . Sin embargo, me doy cuenta de que sigue existiendo el problema de la integración sobre los puntos finales. Tenía previsto utilizar algoritmos de cuadratura como el de Gauss y el de Clenshaw-Curtis para realizar la integración numérica. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Dividir el cómputo en el centro en $1/2$ y utilizar la integración parcial para eliminar la singularidad. $$ \int_0^{1/2}(z-z^2)^{-2/3}dz = \Bigl[3z^{1/3}(1-z)^{-2/3}\Bigr]_0^{1/2}+2\int_0^{1/2}z^{1/3}(1-z)^{-5/3}dz $$ El primer término tiene un valor finito, y el segundo tiene un integrando continuo y acotado, por lo que los métodos numéricos estándar deberían dar un resultado fiable.

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Deberías obtener resultados reales de WA si haces que el radicante sea positivo, es decir, reemplazar $(z^2-z)^{-2/3}$ con $-(z-z^2)^{-2/3}$ . (El gráfico es erróneo en ese sentido, los valores deberían ser negativos.) Recuerda que la CAS conoce los números complejos y siempre utilizará la rama principal de la raíz, $w^a$ evalúa a $\exp(a\,{\rm Ln}(w))=\exp(a\ln|w|+i\,a\arg(w))$ . En este caso, esto conduce a un factor constante $\frac{1+i\sqrt3}2$ en relación con el resultado real, es decir, el resultado real es el doble de la parte real del valor WA.