La condición de determinar un homomorfismo de grupo entre dos grupos abelianos finitos

Question

Hay un ejercicio (Ejercicio 10.25 en la obra de Gallian Álgebra abstracta contemporánea 8/e) que pregunta: ¿Cuántos homomorfismos de grupo hay de $\Bbb{Z}_{20}$ en $\Bbb{Z}_{10}$ ? ¿Cuántos son para $\Bbb{Z}_{10}$ ?

La respuesta es $\varphi(10)=4$ y $10$ respectivamente. Basta con determinar la imagen del generador de $\Bbb{Z}_{20}$ . Pero he encontrado un ejemplo que parece ser un homomorfismo, pero no lo es. El ejemplo es: $\theta:\Bbb{Z}_3\times \Bbb{Z}_2\to S_3$ , $\theta(1,0)=(123)$ y $\theta(0,1)=(12)$ . Este mapeo preserva la operación. Pero no está bien definido. $$(123)(12) =\theta(1,0)\cdot \theta(0,1) =\theta((1,0)+(0,1)) =\theta(1,1) =\theta((0,1)+(1,0)) =\theta(0,1)\cdot \theta(1,0) =(12)\cdot (123).$$

¿Es cierta la siguiente afirmación? Dejemos que $G\cong \Bbb{Z}_{p_1^{r_1}}\times \Bbb{Z}_{p_2^{r_2}}\times \cdots \times \Bbb{Z}_{p_s^{r_s}}$ y $H$ sean dos aditivos finitos abeliano grupos. Si un mapeo $f:G\to H$ satisfacer $p_1^{r_1}f(1,0,...,0)=0_{H}$ , $p_2^{r_2}f(0,1,0,...,0)=0_{H}$ , ..., $p_s^{r_s}f(0,0,..., 0,1)=0_{H}$ , entonces $f$ debe ser un homomorfismo de $G$ a $H$ .

Observación. Hay un error en mi pregunta. No puedo definir sólo $f$ como una "función". Por ejemplo defina $f:\Bbb{Z}_2\to \Bbb{Z}_2$ por $f(0)=f(1)=1$ . Que satisfacen la condición. Pero no es un homomorfismo.

Answer 1

La afirmación es cierta y probablemente podrías pasar horas tratando de demostrarla, pero es mucho más agradable utilizar presentaciones de grupos que nos dan algo mucho más general (disculpas, voy a utilizar la notación multiplicativa).

Puede que sepas que cualquier grupo $G$ se puede escribir $\langle P|R\rangle =F(P)/\langle\langle R\rangle\rangle$ donde $P\subset G$ genera $G$ , $F(P)$ es el grupo libre en $P$ y $\langle\langle R\rangle\rangle$ es el grupo normal más pequeño de $F(P)$ que contiene el conjunto $R\subseteq F(P)$ . $P$ es un conjunto de generadores de $G$ y $R$ es un conjunto de relatores.

En general, un mapa arbitrario $\psi_0:P\to H$ define un homomorfismo $\psi:G\to H$ si y sólo si $\psi_0(r)=1_H$ para cada $r\in R$ .

En su pregunta específicamente $G$ es generado por $e_1,\ldots,e_s$ , donde $e_i$ puede considerarse como un $s$ -tupla con $1$ en el $i^{th}$ entrada y $0$ en otro lugar. Un conjunto de relatores que definen $G$ es $R=\{e_ie_je_i^{-1}e_j^{-1},e_i^{p_i^{r_i}}|1\le i,j\le s\}$ . El $e_ie_je_i^{-1}e_j^{-1}$ sólo significa que $G$ es abeliana y como $H$ es abeliano, estos ciertamente se mapean bajo $f$ a $1_H$ . El $e_i^{p_i^{r_i}}$ sólo significa que $e_i$ tiene orden $p_i^{r_i}$ y, por supuesto, estos mapas bajo $f$ a $1_H$ Así que $f$ define efectivamente un homomorfismo.