¿Un producto directo infinito o una suma de módulos no triviales no está generada finitamente?

Question

Basado en estas dos preguntas más antiguas: Demostrar que un producto directo no está generado finitamente. y $R^\mathbb{N}$ no está generado finitamente como un $R$ -Módulo Me gustaría saber la respuesta a las siguientes preguntas.

• Dada una familia infinita $\{M_i\}_{i \in I}$ de la izquierda no trivial $R$ -(donde $R$ es un anillo), puede $\prod M_i$ sea una entidad finitamente generada $R$ -módulo ?
• Dada una familia infinita $\{M_i\}_{i \in I}$ de la izquierda no trivial $R$ -(donde $R$ es un anillo), puede $\bigoplus M_i$ sea una entidad finitamente generada $R$ -módulo ?

En el segundo enlace se sugiere demostrar que $\prod_{i \in P_n} M_i$ ( $P_n$ es un subconjunto de $I$ de cardinalidad $n$ ) requiere al menos $n$ generadores.

Answer 1

Para las sumas directas, esto es fácil. Por definición, cualquier elemento de $\bigoplus M_i$ sólo tiene un número finito de coordenadas no nulas. Por lo tanto, si tienes un número finito de elementos, sólo hay un número finito de coordenadas en las que cualquiera de ellos es distinto de cero, y lo mismo ocurre con todo el submódulo que generan. Así que, como infinitamente muchos de los $M_i$ son no triviales, ese submódulo no puede ser todo de $\bigoplus M_i$ .

Sorprendentemente, aunque los productos directos son "más grandes" que las sumas directas, es posible que un producto directo infinito de módulos no triviales se genere finitamente. Por ejemplo, dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión infinita y sea $R$ sea el anillo de endomorfismos de $V$ . Entonces $V$ es una izquierda $R$ -en la forma obvia. Si se elige una base $B$ para $V$ entonces el producto infinito $V^B$ es realmente isomorfo como un $R$ -al módulo cíclico $R$ enviando cada mapa $B\to V$ a su extensión única a un mapa lineal $V\to V$ .

Para otra clase de ejemplos (que incluye algunos anillos conmutativos), tome cualquier familia infinita $(R_i)$ de anillos no nulos y que $R=\prod R_i$ . Entonces cada $R_i$ puede considerarse como un $R$ -a través del mapa de proyección, y el producto de estos $R$ -es el módulo cíclico $R$ .